極形式と回転・ド・モアブル

複素数 $z=a+bi$ は、横と縦の成分で表せます。もう1つの表し方は、原点からの長さと角度で表す方法です。

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

ここで $r=|z|$ は原点からの距離、$\theta$ は正の実軸から測った角度です。この角度 $\theta$ を $z$ の偏角と呼び、$\arg z$ と書きます。この形を極形式と呼びます。

触ってみる — 積は回転と拡大の合成

2つの複素数を極形式で動かしてください。黄色い $zw$ は、長さが掛け算され、角度が足し算されて決まります。

1本目の長さ1.401本目の角度35°2本目の長さ1.202本目の角度55°

式で書くと、積は次の形になります。

$$r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_2(\cos\beta+i\sin\beta) =r_1r_2\{\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\}$$

つまり、

$$|zw|=|z||w|,\qquad \arg(zw)\equiv\arg z+\arg w \pmod{2\pi}$$

です($z,w\neq0$)。主値どうしをそのまま足すと $2\pi$ の範囲をはみ出すことがあるので($z=w=-1$ なら $\arg z+\arg w=180°+180°=360°$ ですが $zw=1$ の主値は $\arg(zw)=0°$)、あくまで $2\pi$ を法とした等式です。複素数の掛け算は「拡大縮小」と「回転」を一度に行う操作だと読めます。

何度も掛ける — ド・モアブルの定理

同じ複素数を何度も掛けると、長さは何度も掛けられ、角度は何度も足されます。

長さ1.08角度40°回数5

これを式にしたものがド・モアブルの定理です。

$$\{r(\cos\theta+i\sin\theta)\}^n =r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

$n$ 回掛けるたびに $\theta$ ずつ回るので、単位円上では正多角形の頂点をたどるような動きも現れます。フーリエ解析や複素指数関数では、この「回転を数式で扱える」性質が中心になります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$z=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)$、$w=3(\cos40^\circ+i\sin40^\circ)$ のとき、$zw$ はどれですか?

$5(\cos70^\circ+i\sin70^\circ)$$6(\cos10^\circ+i\sin10^\circ)$$6(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)$$6(\cos70^\circ+i\sin70^\circ)$

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確認 2 / 3

$z=\cos60^\circ+i\sin60^\circ$ のとき、$z^3$ の偏角は何度ですか?

答え

±√π

度確認

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確認 3 / 3

$(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)^4$ の値はどれですか?

$1$$-i$$-1$$i$

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操作チャレンジ — 何回か回して戻る

赤い点で $z$ の角度を決め、回数を変えてください。何回か掛けたあとで $1+0i$ に戻る条件を、図と式の両方で確かめます。

角度50°回数5