複素数と複素平面 — 数を平面で見る

実数は数直線の上の点として見られます。複素数は、その考えをもう一方向へ広げます。$a+bi$ の実部 $a$ を横、虚部 $b$ を縦に置けば、複素数は平面上の点になります。

この見方に慣れると、計算はただの記号操作ではなくなります。足し算は平行移動、引き算は2点の差、掛け算は回転と拡大の合成として読めます。

触ってみる — 四則を平面で見る

赤い点が $z$、青い点が $w$ です。ボタンで四則を切り替え、黄色い矢印がどこへ動くかを見てください。

足す $z+w$引く $z-w$掛ける $zw$割る $z/w$

足し算と引き算は成分ごとの計算です。

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

掛け算は少し表情が変わります。

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

この式は成分で計算できますが、図では「向きを足し、長さを掛ける」動きとして見えます。割り算は逆に、向きを引き、長さを割る操作です。

$i$ を掛けると何が起きるか

$z=a+bi$ に $i$ を掛けると、

$$iz=i(a+bi)=-b+ai$$

です。つまり点 $(a,b)$ は $(-b,a)$ へ移ります。

これは原点を中心にした $90^\circ$ の回転です。$i^2=-1$ になるのも、$90^\circ$ 回転を2回行うと $180^\circ$ 回転、つまり向きが反対になるからです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$z=2+i$、$w=-3+4i$ のとき、$z+w$ はどれですか?

$-1+5i$$1+5i$$5-3i$$-1+3i$

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確認 2 / 3

$z=3-2i$ に $i$ を掛けると $iz$ になります。$iz$ の実部はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$z=1+2i$、$w=3-i$ のとき、積 $zw$ はどれですか?

$1+5i$$5+i$$5+5i$$3-2i$

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操作チャレンジ — 和と差を同時に合わせる

赤い $z$ と青い $w$ を動かして、和と差の両方を目標に合わせてください。式で解くと連立方程式ですが、図では2本の結果矢印を同時に合わせる問題です。