軌跡と領域

軌跡は、条件を満たしながら動く点の「足跡」です。領域は、不等式を満たす点の「面」です。どちらも、点を1つずつ調べる発想から、点の集まりを式でまとめる発想へ進む単元です。

触ってみる — 条件を満たす点の足跡

赤い点 $Q$ は円 $x^2+y^2=4$ の上だけを動きます。固定点 $A(4,0)$ と $Q$ の中点を $M$ とすると、 $M$ は別の円を描きます。赤い点をドラッグするか、自動で動かして、緑の足跡を確認してください。

Q

は

x^2+y^2=4

上を動く。

A(4,0)

と

Q

の中点

M(2.50, 0.87)

は、軌跡

(x-2)^2+y^2=1

を描く

$Q=(2\cos t,2\sin t)$ とおくと、中点は

M=\left(2+\cos t,\sin t\right)

です。だから $M$ の座標を $(x,y)$ とすれば、 $(x-2)^2+y^2=1$ が成り立ちます。これが軌跡の方程式です。

等式が境界線を表すのに対して、不等式は境界線のどちら側かを表します。下の図では、3つの不等式を同時に満たす共通部分を緑で塗っています。

x \geq -1

、

y \geq 0

、

x+y \leq 3

の共通部分が緑。点

P(0.60, 1.10)

は領域内

今回の領域は

x\geq -1,\quad y\geq 0,\quad x+y\leq 3

をすべて満たす点の集まりです。境界線を引いて、どちら側かを1つずつ選ぶと、最後に残った部分が連立不等式の解になります。

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$Q$ が $x^2+y^2=4$ 上を動き、 $A(4,0)$ と $Q$ の中点を $M$ とします。 $M$ の軌跡はどれですか?

確認 2 / 3

点 $(1,1)$ は $x\geq -1$ , $y\geq 0$ , $x+y\leq 3$ の領域に入りますか?

確認 3 / 3

領域 $x\geq -1$ , $y\geq 0$ , $x+y\leq 3$ の中で、 $x+y$ の最大値はいくつですか?

答え

青い点を動かして、連立不等式の領域に入れながら、追加条件の直線にも乗せます。「領域」と「等式条件」を同時に満たす点を探してください。

目標: 青い点を

x \geq -1

、

y \geq 0

、

x+y \leq 3

の共通部分に入れ、さらに

y=x+1

の上に置く。現在

P(-0.20, 1.80)

、領域内、直線から外れています

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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