軌跡と領域

点の動き方や範囲を式でとらえる2つの考え方が、この章のテーマです。軌跡は、条件を満たしながら動く点の「足跡」です。領域は、不等式を満たす点の「面」です。どちらも、点を1つずつ調べる発想から、点の集まりを式でまとめる発想へ進む単元です。

触ってみる — 条件を満たす点の足跡

赤い点 $Q$ は円 $x^2+y^2=4$ の上だけを動きます。固定点 $A(4,0)$ と $Q$ の中点を $M$ とすると、$M$ は別の円を描きます。赤い点をドラッグするか、自動で動かして、緑の足跡を確認してください。

自動で動かす

$Q=(2\cos t,2\sin t)$ とおくと、中点は

$$M=\left(2+\cos t,\sin t\right)$$

です。だから $M$ の座標を $(x,y)$ とすれば、$(x-2)^2+y^2=1$ が成り立ちます。これが軌跡の方程式です。

触ってみる — 不等式は面の指定

等式が境界線を表すのに対して、不等式は境界線のどちら側かを表します。下の図では、3つの不等式を同時に満たす共通部分を緑で塗っています。

今回の領域は

$$x\geq -1,\quad y\geq 0,\quad x+y\leq 3$$

をすべて満たす点の集まりです。境界線を引いて、どちら側かを1つずつ選ぶと、最後に残った部分が連立不等式の解になります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$Q$ が $x^2+y^2=4$ 上を動き、$A(4,0)$ と $Q$ の中点を $M$ とします。$M$ の軌跡はどれですか?

$x+y=4$$(x+2)^2+y^2=1$$(x-2)^2+y^2=1$$x^2+y^2=4$

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確認 2 / 3

点 $(1,1)$ は $x\geq -1$, $y\geq 0$, $x+y\leq 3$ の領域に入りますか?

$x\geq -1$ を満たさないので入らない$x+y\leq 3$ を満たさないので入らない$y\geq 0$ を満たさないので入らない3つすべて満たすので入る

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確認 3 / 3

領域 $x\geq -1$, $y\geq 0$, $x+y\leq 3$ の中で、$x+y$ の最大値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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チャレンジ問題 — 領域の中で直線にも乗せる

青い点を動かして、連立不等式の領域に入れながら、追加条件の直線にも乗せます。「領域」と「等式条件」を同時に満たす点を探してください。