円と直線の方程式

座標平面では、図形を「点の集まり」として式にできます。円は「中心からの距離が一定の点の集まり」、直線との距離は「垂直に下ろした最短距離」。この2つを式で読めるようになると、接する・交わる・離れるも計算で判断できます。

触ってみる — 円の式は距離の式

赤い点をドラッグして中心を動かし、青い点を横に動かして半径を変えてください。中心が $(a,b)$、半径が $r$ の円は、中心から距離 $r$ の点 $(x,y)$ 全体です。

つまり、円の方程式は距離の式そのものです。

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

式の中の $a,b$ は中心の座標、右辺の平方根が半径です。展開された式を見ても、平方完成すればこの形に戻せます。

触ってみる — 点と直線の距離

直線までの距離は、斜めに測るのではなく、直線に垂直な線分の長さです。点 $P$ を動かすと、青い垂線の長さが距離として計算されます。

直線 $Ax+By+C=0$ と点 $(x_0,y_0)$ の距離は

$$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

です。円と直線が接するかどうかも、中心から直線までの距離と半径を比べれば分かります。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

円 $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ の中心と半径はどれですか?

中心 $(2,1)$、半径 $9$中心 $(2,-1)$、半径 $3$中心 $(-2,1)$、半径 $3$中心 $(-2,-1)$、半径 $9$

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確認 2 / 3

点 $(1,2)$ と直線 $3x+4y-6=0$ の距離はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

円 $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ と直線 $x=3$ の関係はどれですか?

2点で交わる交わらない接する直線が円の中心を通る

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チャレンジ問題 — 接する円を作る

赤い点で中心、青い点で半径を調整します。中心から直線までの距離と半径が一致すると、円と直線はちょうど接します。