コーシー・リーマン方程式を使う

前回、複素微分可能であるためのヤコビ行列の条件から、次のコーシー・リーマン方程式(CR方程式)が出てきました。$f=u+iv$ として、

$$u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x$$

CR方程式の十分条件

CR方程式は複素微分可能性の必要条件です。偏導関数 $u_x,u_y,v_x,v_y$ が近傍で連続なら、CR方程式から複素微分可能性が従います(これは十分条件であり、連続性は必要条件ではありません。通常の教科書の例ではほぼ自動的に満たされます)。

CR方程式が不成立なら複素微分不可能、という反例を見ておきましょう。$f(z)=\bar z = x - iy$ とすると $u=x,\ v=-y$。

$$u_x = 1, \qquad v_y = -1$$

$u_x \neq v_y$ なので CR方程式は成り立ちません。$u,v$ はどちらも(実関数として)なめらかなのに、$f(z)=\bar z$ はどの点でも複素微分不可能です。「実部・虚部がなめらか」というだけでは、複素微分可能性には足りないのです。

具体例で検算する — $f(z)=z^2$

$f(z)=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$ なので $u=x^2-y^2$、$v=2xy$。

$$u_x = 2x = v_y, \qquad u_y = -2y = -v_x$$

CR方程式がすべての点で成立するので、$f(z)=z^2$ は複素平面全体で正則です。

臨界点で等角性が壊れる

定義域(z₀をドラッグ)

像(青=実際の $f$ による像、橙の破線円=線形近似)

複素点 z0 の座標

$\operatorname{Re}(z_0)$$\operatorname{Im}(z_0)$

z0は(1.00, 0.60)。この点での回転角は31.0度、拡大率は2.33倍です。

半径 ε0.30

$z_0$ を原点にドラッグしてみてください。$f'(0)=2\cdot 0=0$ となり、線形近似(回転+拡大)が意味をなさなくなります。実際、原点付近では $f(z)=z^2$ は角度を2倍にしてしまい(1章のドメインカラーリングで見た「色相が2周する」現象と同じ理由です)、角度を保つ「等角写像」ではなくなります。この $f'(z_0)=0$ となる点を臨界点と呼びます。次の章「等角写像」では、この臨界点で等角性が破れることを扱います。

理解チェック

$f(z)=z^2$、点 $(x,y)=(3,-1)$ での $u_x$ と $v_y$ をそれぞれ計算し、CR方程式が成り立つか確認してください。

答えを見る

$u_x = 2x = 6$、$v_y = 2x = 6$ で一致します(どちらも $2x$ になるのは $u=x^2-y^2,v=2xy$ の形から)。CR方程式は成立しています。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(z)=\bar z$ について正しい記述はどれですか?

CR方程式が成立するので複素微分可能$u,v$ はなめらかだがCR方程式が不成立で、複素微分不可能$u,v$ がなめらかでないので複素微分不可能実部が定数なので複素微分不可能

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確認 2 / 3

$f(z)=z^2$ について、点 $(x,y)=(2,5)$ での $u_y$ の値はいくつですか?($u=x^2-y^2$)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

臨界点($f'(z_0)=0$)で何が起きますか?

局所線形近似が退化し、一般に角度が保たれなくなる(等角性が壊れる)関数が定義されなくなる絶対値が発散する何も変わらない、通常の点と同じ

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