複素微分と正則関数

実数関数の微分は「その点での接線の傾き」でした。複素関数でも同じ形の極限を考えます。

f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}

ただし、これは実数のときよりずっと強い条件です。実数の極限は左右2方向からの近づき方だけを考えればよいのに対し、複素数の $\Delta z \to 0$ は平面上のあらゆる方向からの近づき方を含みます。どの方向から近づいても同じ極限値になるとき、その点で複素微分可能といいます。さらに、ある点の近傍のすべての点で複素微分可能なとき、その点で正則(holomorphic)といいます(1点だけで複素微分可能でも正則とは限りません。例: $f(z)=|z|^2$ は $z=0$ でのみ複素微分可能で、どこでも正則ではありません)。

局所線形近似 — f' は「回転+拡大」

$f$ が $z_0$ で複素微分可能なら、 $z_0$ の近くで

f(z) \approx f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)

という1次近似が成り立ちます。実数の $f'(z_0)$ による1次近似は「傾き」ですが、複素数の $f'(z_0)$ を掛ける操作は、平面上では 「 $\arg f'(z_0)$ だけ回転して、 $|f'(z_0)|$ 倍に拡大する」相似変換になります。つまり複素微分可能で $f'(z_0)\neq0$ の点では、拡大鏡でどれだけズームしても、 $f$ は「回転+拡大」にしか見えません( $f'(z_0)=0$ だと1次近似が潰れ、この後で見るように角度が保たれません)。正則でない例として共役 $f(z)=\bar z$ (実軸に関する鏡映で、どこでも複素微分可能ではありません)を考えると、角度の保たれ方が変わります。

定義域(青=実線・橙=破線の2直線、z0をドラッグ)

像(接線方向を同じ長さで表示)

f(z)=z^2

、

f'(z_0)=2z_0\neq0

(

z_0\neq0

なので)。定義域の交角

80.0^\circ

が像でも

80.0^\circ

のまま保たれます(等角性)。

$z^2$ (正則・ $f'(z_0)\neq0$ の点)では原点でない交点 $z_0$ を通る2曲線の交角が大きさ・向きとも保たれるのに対し、 $\bar z$ (反正則)では大きさは同じでも交わる向き(反時計回りか時計回りか)が反転します。プリセットを切り替えて見比べてください。

定義域(z₀をドラッグ)

像(青=実際の $f$ による像、橙の破線円=線形近似)

半径 ε0.30

赤=東方向・緑=北方向へ動かした像(どちらの方向でも回転角は同じ=等角性)。

f(z)=z^2

、

f'(z_0)=2z_0=(2.00,\ 1.20)

、

|f'(z_0)|=2.33

。実線(実際)と破線(近似)がほぼ重なる=局所的には回転+拡大そのもの。

$z_0$ をドラッグし、半径 $\varepsilon$ を小さくしてみてください。半径 $\varepsilon$ を小さくするほど、実線(実際の $f$ による像)と破線の円(線形近似)は近づきます( $\varepsilon\to0$ で一致し、有限の $\varepsilon$ では誤差 $\varepsilon^2 e^{2it}$ が残ります)。ただし $z_0$ を原点に近づけると話が変わります。 $f(z)=z^2$ の $f'(z)=2z$ は $z_0=0$ でちょうど $0$ になり、近似円が点に潰れて実際の像(2倍の角度で回る曲線)とずれてしまいます。

なぜ「回転+拡大」になるのか(CR方程式への入口)

$f=u+iv$ (実部 $u$ 、虚部 $v$ )として、 $f$ を実2変数の写像 $(x,y)\mapsto(u,v)$ と見ると、そのヤコビ行列は

\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}

です。これが複素数の掛け算(回転+拡大)を表す行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形になるためには、 $u_x=v_y$ かつ $u_y=-v_x$ が必要です。これが次のレッスンで扱うコーシー・リーマン方程式で、「実部・虚部が単なる滑らかな2変数関数」であることと「複素微分可能であること」を分ける境界線になります。

理解チェック

$f(z)=z^2$ 、 $z_0 = 1+i$ のとき、 $f'(z_0)$ はいくつでしょうか?

答えを見る

$f'(z)=2z$ なので $f'(1+i) = 2(1+i) = 2+2i$ 。絶対値は $|2+2i|=2\sqrt2$ 、偏角は $45°$ です。 $z_0$ の近くでは「45°回転して $2\sqrt2$ 倍に拡大」する変換になっています。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

複素微分可能であるための条件として正しいものはどれですか?

確認 2 / 3

$f(z)=z^2$ 、 $z_0=2i$ のとき、 $f'(z_0)$ の虚部はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

$f'(z_0)\neq0$ のとき、 $z_0$ 近くの局所線形近似が表す変換は何ですか?

この章の定義・定理・公式をまとめて確認する

第2章正則性とコーシー・リーマン方程式のまとめページへ

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執筆: 中野竜之介／監修: 古郷優平

中野竜之介: 北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Needham『Visual Complex Analysis』(Oxford) / Ahlfors『Complex Analysis』(McGraw-Hill) / 神保道夫『複素関数入門』(岩波)

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