複素微分と正則関数

実数関数の微分は「その点での接線の傾き」でした。複素関数でも同じ形の極限を考えます。

f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}

ただし、これは実数のときよりずっと強い条件です。実数の極限は左右2方向からの近づき方だけを考えればよいのに対し、複素数の $\Delta z \to 0$ は平面上のあらゆる方向からの近づき方を含みます。どの方向から近づいても同じ値になって初めて、複素微分可能(正則)といえます。

局所線形近似 — f' は「回転+拡大」

$f$ が $z_0$ で複素微分可能なら、 $z_0$ の近くで

f(z) \approx f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)

という1次近似が成り立ちます。ここがポイントです。実数の $f'(z_0)$ による1次近似は「傾き」ですが、複素数の $f'(z_0)$ を掛ける操作は、平面上では 「 $\arg f'(z_0)$ だけ回転して、 $|f'(z_0)|$ 倍に拡大する」相似変換になります。つまり複素微分可能な点では、拡大鏡でどれだけズームしても、 $f$ は「回転+拡大」にしか見えません。

定義域(z₀をドラッグ)

像(青=実際の $f$、橙の破線円=線形近似)

半径 ε0.30

f(z)=z^2

、

f'(z_0)=2z_0=(2.00,\ 1.20)

、

|f'(z_0)|=2.33

。実線(実際)と破線(近似)がほぼ重なる=局所的には回転+拡大そのもの。

$z_0$ をドラッグし、半径 $\varepsilon$ を小さくしてみてください。実線(実際の $f$ による像)と破線の円(線形近似)がぴったり重なります。ただし $z_0$ を原点に近づけると話が変わります—— $f(z)=z^2$ の $f'(z)=2z$ は $z_0=0$ でちょうど $0$ になり、近似円が点に潰れて実際の像(2倍の角度で回る曲線)とずれてしまいます。

なぜ「回転+拡大」になるのか(CR方程式への入口)

$f=u+iv$ (実部 $u$ 、虚部 $v$ )として、 $f$ を実2変数の写像 $(x,y)\mapsto(u,v)$ と見ると、そのヤコビ行列は

\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}

です。これが複素数の掛け算(回転+拡大)を表す行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形になるためには、 $u_x=v_y$ かつ $u_y=-v_x$ が必要です。これが次のレッスンで扱うコーシー・リーマン方程式で、「実部・虚部が単なる滑らかな2変数関数」であることと「複素微分可能であること」を分ける境界線になります。

理解チェック

$f(z)=z^2$ 、 $z_0 = 1+i$ のとき、 $f'(z_0)$ はいくつでしょうか?

答えを見る

$f'(z)=2z$ なので $f'(1+i) = 2(1+i) = 2+2i$ 。絶対値は $|2+2i|=2\sqrt2$ 、偏角は $45°$ —— $z_0$ の近くでは「45°回転して $2\sqrt2$ 倍に拡大」する変換になっています。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

複素微分可能であるための条件として正しいものはどれですか?

確認 2 / 3

$f(z)=z^2$ 、 $z_0=2i$ のとき、 $f'(z_0)$ の虚部はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

$f'(z_0)\neq0$ のとき、 $z_0$ 近くの局所線形近似が表す変換は何ですか?

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Needham『Visual Complex Analysis』(Oxford) / Ahlfors『Complex Analysis』(McGraw-Hill) / 神保道夫『複素関数入門』(岩波)

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