複素微分と正則関数

実数関数の微分は「その点での接線の傾き」でした。複素関数でも同じ形の極限を考えます。

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

ただし、これは実数のときよりずっと強い条件です。実数の極限は左右2方向からの近づき方だけを考えればよいのに対し、複素数の $\Delta z \to 0$ は平面上のあらゆる方向からの近づき方を含みます。どの方向から近づいても同じ極限値になるとき、その点で複素微分可能といいます。さらに、ある点の近傍のすべての点で複素微分可能なとき、その点で正則(holomorphic)といいます(1点だけで複素微分可能でも正則とは限りません。例: $f(z)=|z|^2$ は $z=0$ でのみ複素微分可能で、どこでも正則ではありません)。

局所線形近似 — f' は「回転+拡大」

$f$ が $z_0$ で複素微分可能なら、$z_0$ の近くで

$$f(z) \approx f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)$$

という1次近似が成り立ちます。実数の $f'(z_0)$ による1次近似は「傾き」ですが、複素数の $f'(z_0)$ を掛ける操作は、平面上では 「$\arg f'(z_0)$ だけ回転して、$|f'(z_0)|$ 倍に拡大する」相似変換になります。つまり複素微分可能で $f'(z_0)\neq0$ の点では、拡大鏡でどれだけズームしても、$f$ は「回転+拡大」にしか見えません($f'(z_0)=0$ だと1次近似が潰れ、この後で見るように角度が保たれません)。正則でない例として共役 $f(z)=\bar z$(実軸に関する鏡映で、どこでも複素微分可能ではありません)を考えると、角度の保たれ方が変わります。

写像を選択

$f(z)=z^2$$f(z)=\bar z$

定義域(青=実線・橙=破線の2直線、z0をドラッグ)

像(接線方向を同じ長さで表示)

交点 z0 の座標

$\operatorname{Re}(z_0)$$\operatorname{Im}(z_0)$

$\alpha$(度)$\beta$(度)

z2乗を選択中。z0は原点ではないのでf'(z0)は0ではありません。定義域の交角は80.0度、像の交角も80.0度で、大きさ・向きとも保たれています。

$z^2$(正則・$f'(z_0)\neq0$ の点)では原点でない交点 $z_0$ を通る2曲線の交角が大きさ・向きとも保たれるのに対し、$\bar z$(反正則)では大きさは同じでも交わる向き(反時計回りか時計回りか)が反転します。プリセットを切り替えて見比べてください。

定義域(z₀をドラッグ)

像(青=実際の $f$ による像、橙の破線円=線形近似)

複素点 z0 の座標

$\operatorname{Re}(z_0)$$\operatorname{Im}(z_0)$

z0は(1.00, 0.60)。この点での回転角は31.0度、拡大率は2.33倍です。

半径 ε0.30

$z_0$ をドラッグし、半径 $\varepsilon$ を小さくしてみてください。半径 $\varepsilon$ を小さくするほど、実線(実際の $f$ による像)と破線の円(線形近似)は近づきます($\varepsilon\to0$ で一致し、有限の $\varepsilon$ では誤差 $\varepsilon^2 e^{2it}$ が残ります)。ただし $z_0$ を原点に近づけると話が変わります。$f(z)=z^2$ の $f'(z)=2z$ は $z_0=0$ でちょうど $0$ になり、近似円が点に潰れて実際の像(2倍の角度で回る曲線)とずれてしまいます。

なぜ「回転+拡大」になるのか(CR方程式への入口)

$f=u+iv$(実部 $u$、虚部 $v$)として、$f$ を実2変数の写像 $(x,y)\mapsto(u,v)$ と見ると、そのヤコビ行列は

$$\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}$$

です。これが複素数の掛け算(回転+拡大)を表す行列 $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形になるためには、$u_x=v_y$ かつ $u_y=-v_x$ が必要です。これが次のレッスンで扱うコーシー・リーマン方程式で、「実部・虚部が単なる滑らかな2変数関数」であることと「複素微分可能であること」を分ける境界線になります。

理解チェック

$f(z)=z^2$、$z_0 = 1+i$ のとき、$f'(z_0)$ はいくつでしょうか?

答えを見る

$f'(z)=2z$ なので $f'(1+i) = 2(1+i) = 2+2i$。絶対値は $|2+2i|=2\sqrt2$、偏角は $45°$ です。$z_0$ の近くでは「45°回転して $2\sqrt2$ 倍に拡大」する変換になっています。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

複素微分可能であるための条件として正しいものはどれですか?

絶対値が微分可能であればよい$\Delta z\to0$ のとき、どの方向から近づいても同じ極限値になる実部だけが微分可能であればよい$x$ 方向からの近づき方だけを確認すればよい

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確認 2 / 3

$f(z)=z^2$、$z_0=2i$ のとき、$f'(z_0)$ の虚部はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$f'(z_0)\neq0$ のとき、$z_0$ 近くの局所線形近似が表す変換は何ですか?

回転+拡大(相似変換)平行移動のみ反転(鏡映)せん断(shear)

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