定義・定理・公式まとめ

$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

絶対値 $r$(原点からの距離)と偏角 $\theta$(実軸からの角度)で複素数を表す

$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$

$i$ を掛けると90°回転するのも、絶対値1・偏角90°の数を掛けているだけ

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

$n$ 乗すると偏角がちょうど $n$ 倍になる

$n$ は整数(負や0でも成立)

色相 $=\arg f(z)$、明度 $=|f(z)|$ の単調な関数(零点で暗く、極で明るく)

関数を「平面→平面」のまま塗り分けて、グラフでは見えない性質を色で見る

零点・極のまわりで色相が周回する回数が、その点の位数(=偏角の巻き数)

$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

実数の微分と同じ形の極限だが、平面上のあらゆる方向から近づいても同じ値が要る

方向によらず一定という、実2変数関数の偏微分可能性より強い条件

$u_x=v_y,\quad u_y=-v_x$($f=u+iv$)

ヤコビ行列が「回転+拡大」を表す行列の形になるための条件

正則性の必要条件。十分にするには偏導関数の連続性も要る。反例 $f(z)=\bar z$: $u=x,v=-y$ は滑らかでも $u_x=1\neq-1=v_y$ でCR不成立=複素微分不可能

$f(z)\approx f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$

拡大鏡でズームすると、正則関数は「回転+拡大」にしか見えない

$f'(z_0)\neq0$ なら「$\arg f'(z_0)$ 回転して $|f'(z_0)|$ 倍」の相似変換

$f(z)=z^2$ の $f'(0)=0$

$z_0=0$ に近づけると、局所線形近似の円が像の曲線からずれていく

$z=0$ では角度が2倍になる。一般に最初に消えない微分の階数だけ角度が倍化する

交わる2曲線のなす角(大きさ・向き)を保つ写像

地図の投影法など、角度を変えずに形を変形したいときの数学的な条件

正則かつ $f'(z_0)\neq0$ なら $z_0$ で等角

局所線形近似(回転+拡大)がどの方向のベクトルも同じ角度だけ回すため

$f'(z_0)=0$(臨界点)では一般に角度は保たれない

$w=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)$

円をスライダーで動かすと厚み・尖りが変わる翼型に化ける

臨界点は $dw/dz=\frac12(1-1/z^2)=0$ より $z=\pm1$。円が $z=1$ を通るとき後縁にカスプができる

$w=\dfrac{az+b}{cz+d}\ (ad-bc\neq0)$

円・直線を円・直線に写す(直線は半径無限大の円とみなす)

$w'=(ad-bc)/(cz+d)^2$ は $ad\neq bc$ である限り常に0でないため、定義域全体で常に等角

$\oint_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt$

実数の積分区間の代わりに、複素平面上の経路を1本決めて積分する

$f$ が単連結領域で正則なら $\oint_C f\,dz=0$

極をドラッグして経路の外に出すと、実測値がぴったり0になる

単連結+正則の両方が前提。極を経路が囲むと成り立たない

$\oint_{|z|=1}z^n\,dz=2\pi i\ (n=-1),\quad 0\ (それ以外の整数n)$

$n=-1$ だけ原始関数が多価($\log z$)になるため特別扱いになる

留数定理の最も基本的な部品

$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-a}\,dz$

境界上の値だけから内部の値がすべて決まる、正則関数の「硬さ」を表す式

$f$ は $C$ の内部・境界で正則、$a$ は $C$ の内部の点が前提

$\mathrm{Res}(f,p)=a_{-1}$(ローラン展開の $1/(z-p)$ の係数)

閉じた経路の積分に効くのはこの係数だけ(他の項は積分すると消える)

$\mathrm{Res}(f,p)=\lim_{z\to p}(z-p)f(z)$

$(z-p)$ を掛けて極を打ち消してから $z=p$ を代入する

$p$ が位数1の極(単純極)のときのみ使える

$\mathrm{Res}(f,p)=\dfrac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to p}\dfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\big[(z-p)^kf(z)\big]$

分子を $(z-p)$ のべき級数とみて、ちょうど1つ低い次数の係数を取り出す

$p$ が位数 $k$ の極のとき

$\oint_C f\,dz=2\pi i\sum_j\mathrm{Res}(f,p_j)$

極が経路の内側に入るたびに、理論値が留数の分だけ段階的に増える

$C$ は正則な単純閉曲線(正の向き)、$p_j$ は $C$ 内部の孤立特異点。コーシーの定理は特異点なし(和=0)の特別な場合

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\mathrm{Im}\,p>0}\mathrm{Res}(f,p)$

実軸の積分区間+上半円弧を閉じ、弧の寄与が消えるのを待つ

上半円弧の寄与が0に収束すること(分母の次数が分子より2以上大きい 等)が前提

$\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^2}=\pi$

上半平面の極 $z=i$ の留数 $\frac1{2i}$ から $2\pi i\cdot\frac1{2i}=\pi$

共通の集積点を持つ集合上で一致する2つの正則関数は、連結な定義域全体で一致する

「一致の定理」により、正則関数の延長方法は(存在すれば)ただ1通り

この一致の定理(identity theorem)が解析接続の一意性の根拠

$\log z=\ln|z|+i\arg z$

原点のまわりを1周するたびに虚部が $2\pi i$ だけずれて戻ってくる

$\arg z$ は $2\pi$ の整数倍だけ不定なので多価。分岐を切るか、リーマン面で解消する