定義・定理・公式まとめ

$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

絶対値 $r$(原点からの距離)と偏角 $\theta$(実軸からの角度)で複素数を表す

$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod{2\pi}$

$i$ を掛けると90°回転するのも、絶対値1・偏角90°の数を掛けているだけ

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

$n$ 乗すると偏角がちょうど $n$ 倍になる

$n$ は整数(負や0でも成立)

色相 $=\arg f(z)$、明度 $=|f(z)|$ の単調な関数(零点で暗く、極で明るく)

関数を「平面→平面」のまま塗り分けて、グラフでは見えない性質を色で見る

零点・極のまわりで色相が周回する回数が、その点の位数(=偏角の巻き数)

$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

実数の微分と同じ形の極限だが、平面上のあらゆる方向から近づいても同じ値が要る

方向によらず一定という、実2変数関数の偏微分可能性より強い条件

$u_x=v_y,\quad u_y=-v_x$($f=u+iv$)

ヤコビ行列が「回転+拡大」を表す行列の形になるための条件

正則性の必要条件。十分にするには偏導関数の連続性も要る。反例 $f(z)=\bar z$: $u=x,v=-y$ は滑らかでも $u_x=1\neq-1=v_y$ でCR不成立=複素微分不可能

$f(z)\approx f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$

拡大鏡でズームすると、正則関数は「回転+拡大」にしか見えない

$f'(z_0)\neq0$ なら「$\arg f'(z_0)$ 回転して $|f'(z_0)|$ 倍」の相似変換

$f(z)=z^2$ の $f'(0)=0$

$z_0=0$ に近づけると、局所線形近似の円が像の曲線からずれていく

$z=0$ では角度が2倍になる。一般に最初に消えない微分の階数だけ角度が倍化する

交わる2曲線のなす角(大きさ・向き)を保つ写像

地図の投影法など、角度を変えずに形を変形したいときの数学的な条件

正則かつ $f'(z_0)\neq0$ なら $z_0$ で等角

局所線形近似(回転+拡大)がどの方向のベクトルも同じ角度だけ回すため

$f'(z_0)=0$(臨界点)では一般に角度は保たれない

$w=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)$

円をスライダーで動かすと厚み・尖りが変わる翼型に化ける

臨界点は $dw/dz=\frac12(1-1/z^2)=0$ より $z=\pm1$。円が $z=1$ を通るとき後縁にカスプができる

$w=\dfrac{az+b}{cz+d}\ (ad-bc\neq0)$

円・直線を円・直線に写す(直線は半径無限大の円とみなす)

$w'=(ad-bc)/(cz+d)^2$ は $ad\neq bc$ である限り常に0でないため、定義域全体で常に等角

$\oint_C f(z)\,dz=\int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt$

実数の積分区間の代わりに、複素平面上の経路を1本決めて積分する

$f$ が単連結領域で正則なら $\oint_C f\,dz=0$

極をドラッグして経路の外に出すと、実測値がぴったり0になる

単連結+正則の両方が前提。極を経路が囲むと成り立たない

$\oint_{|z|=1}z^n\,dz=2\pi i\ (n=-1),\quad 0\ (それ以外の整数n)$

$n=-1$ だけ原始関数が多価($\log z$)になるため特別扱いになる

単位円を正の向き(反時計回り)にとることが前提。向きを逆にすると符号も反転する。留数定理の最も基本的な部品

$f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-a}\,dz$

境界上の値だけから内部の値がすべて決まる、正則関数の「硬さ」を表す式

$f$ は $C$ の内部・境界で正則、$a$ は $C$ の内部の点が前提

$\mathrm{Res}(f,p)=a_{-1}$(ローラン展開の $1/(z-p)$ の係数)

閉じた経路の積分に効くのはこの係数だけ(他の項は積分すると消える)

$\mathrm{Res}(f,p)=\lim_{z\to p}(z-p)f(z)$

$(z-p)$ を掛けて極を打ち消してから $z=p$ を代入する

$p$ が位数1の極(単純極)のときのみ使える

$\mathrm{Res}(f,p)=\dfrac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to p}\dfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\big[(z-p)^kf(z)\big]$

分子を $(z-p)$ のべき級数とみて、ちょうど1つ低い次数の係数を取り出す

$p$ が位数 $k$ の極のとき

$\oint_C f\,dz=2\pi i\sum_j\mathrm{Res}(f,p_j)$

極が経路の内側に入るたびに、理論値が留数の分だけ段階的に増える

$f$ は $C$ 上および内部で正則($C$ 内部の有限個の孤立特異点 $p_j$ を除く)、$C$ は単純閉曲線(正の向き)であることが前提。コーシーの定理は特異点なし(和=0)の特別な場合

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\mathrm{Im}\,p>0}\mathrm{Res}(f,p)$

実軸の積分区間+上半円弧を閉じ、弧の寄与が消えるのを待つ

上半円弧の寄与が0に収束すること(分母の次数が分子より2以上大きい 等)に加え、実軸上に極がないことが前提。反例: $f(z)=1/z^2$ は弧の寄与は0でも実軸上 $z=0$ に極があり、実積分は発散して留数和とは一致しない

$\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^2}=\pi$

上半平面の極 $z=i$ の留数 $\frac1{2i}$ から $2\pi i\cdot\frac1{2i}=\pi$

共通の集積点を持つ集合上で一致する2つの正則関数は、連結な定義域全体で一致する

「一致の定理」により、正則関数の延長方法は(存在すれば)ただ1通り

この一致の定理(identity theorem)が解析接続の一意性の根拠。ただし集積点が連結な定義域の内部にあることが前提。反例: $D=\{\mathrm{Re}\,z>0\}$ 上で $f=0$ と $g(z)=\sin(\pi/z)$ は $\{1/n\}$ 上で一致し集積点0を持つが、0は$D$の境界のため$D$全体では一致しない

$\log z=\ln|z|+i\arg z$

原点のまわりを1周するたびに虚部が $2\pi i$ だけずれて戻ってくる

$\arg z$ は $2\pi$ の整数倍だけ不定なので多価。分岐を切るか、リーマン面で解消する

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(z-c)^n,\quad |z-c|<R$

展開中心を動かすと、最も近い特異点までの距離に合わせて収束円も伸び縮みする

$f$ が $c$ の近傍で正則であることが前提。解析接続した関数の特異点が離散的なら、$R$ は $c$ から最も近い特異点までの距離

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-c)^n,\quad r<|z-c|<R$

特異点をまたぐたびに、同じ関数でも正のべきと負のべきの組み方が変わる

$f$ が円環 $r<|z-c|<R$ で正則なら、その円環でローラン展開が一意に存在する

主要部 $0$: 可除、有限個で $a_{-m}\neq0$: $m$ 位の極、無限個: 真性

ローラン展開の負のべきが、無い・有限・無限のどれかで分類する

分類は $c$ が孤立特異点であることを前提とする

$\operatorname{Res}(f,c)=a_{-1},\quad \displaystyle\oint_Cf(z)\,dz=2\pi i\,a_{-1}$

主要部のうち、正向きの閉路積分に残るのは $1/(z-c)$ の係数だけ

$C$ はローラン展開の円環内で $c$ だけを1回反時計回りに囲む閉曲線

$e^{1/z}=1+z^{-1}+\dfrac{z^{-2}}{2!}+\cdots$

負のべきが無限に続くため真性特異点だが、留数は $z^{-1}$ の係数 $1$ とすぐ読める

$z=0$ は孤立真性特異点で、$\operatorname{Res}(e^{1/z},0)=1$

$f$ が領域 $D$ で正則かつ非定数なら、$|f|$ は $D$ 内で局所最大値を取らない

有界領域では絶対値の最大が内部ではなく境界へ押し出される

$D$ は連結な開領域。境界最大の形には、$D$ が有界で $f$ が $\overline D$ 上連続という条件も要る

$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ が整関数かつ $|f(z)|\leq M$ なら $f$ は定数

コーシー評価 $|f'(z_0)|\leq M/R$ で円を無限に広げると、すべての点で導関数が0になる

同じ定数 $M$ が複素平面全体で使えることが必要。円板ごとに異なる上限を選べるだけでは足りない

$\deg P\geq1$ の複素係数多項式 $P$ は、ある $z_0\in\mathbb C$ で $P(z_0)=0$

零点がないと仮定すると $1/P$ が有界な整関数になり、リウヴィルの定理と矛盾する

$P$ が非定数であることが条件。証明では零点なしの仮定が $1/P$ の全平面での正則性を保証する

$f=g$ の点集合が $D$ 内に集積点を持つなら、$f\equiv g\ \text{on}\ D$

正則関数は、領域内部に集積する小さな一致集合だけで全体が決まる

$D$ は連結な開領域、$f,g$ は $D$ で正則。集積点が $D$ の境界にあるだけでは適用できない

$\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\dfrac{1}{1-z}\ (|z|<1)$

重なる領域で一致する正則な延長は、一致の定理により同じ関数になる

一致の定理が保証するのは一意性であり、延長の存在ではない。分岐や特異点が延長を妨げることがある

$f=u+iv$ が正則なら $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0,\quad \Delta v=0$

コーシー・リーマン方程式をもう一度微分すると、実部と虚部がラプラス方程式を満たす

$u,v$ の2階偏導関数が連続な領域で混合偏導関数の一致を使う。正則関数の実部・虚部は実際には滑らか

$\nabla u\cdot\nabla v=0$

実部の等高線と共役な虚部の等高線が直角に交わり、ポテンシャル線と流線を同時に描く

$f'(z)\neq0$ の点では両勾配が0でなく、正則な等高線どうしの直交が成り立つ。臨界点では退化する

$u(a)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}u(a+\rho e^{i\theta})\,d\theta$

中心の値を円周上の値の平均だけから復元できる

$u$ が中心 $a$、半径 $\rho$ の閉円板を含む領域で調和であることが条件

$u(re^{i\theta})=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2}g(e^{i\phi})\,d\phi$

円周上の境界データに位置依存の重みを掛けて、円板内部の調和関数を作る

$g$ は単位円周上で連続、$0\leq r<1$。得られる解は円板内で調和で、境界値 $g$ を連続的に取る一意な解

$u_x=v_y,\quad u_y=-v_x$ を満たす $v$

調和関数を正則関数の実部として組み直す

$u$ が調和なら共役 $v$ は局所的に存在する。定義域が単連結なら大域的に存在し、加法定数を除いて一意

収束円環 $\longrightarrow a_{-1}=\operatorname{Res}(f,c)\longrightarrow \displaystyle\oint_Cf\,dz=2\pi i\,a_{-1}$

展開が成り立つ領域を確認してから、留数を読み、経路の向きを付けて積分する

$C$ 上に特異点がなく、正向きなら符号は $+2\pi i$。時計回りでは符号が反転する

正則性 $\longrightarrow$ コーシー評価・最大値原理 $\longrightarrow$ リウヴィル・一致の定理

各点での複素微分可能性が、有界性や一致集合から関数全体を決める定理へつながる

各矢印では領域の連結性、全平面での正則性、集積点の位置など、対応する成立条件を確認する

$f=u+iv$ 正則 $\Longrightarrow \Delta u=\Delta v=0$

CR方程式、等高線の直交、平均値性、境界値問題を1つの流れとして見直す

逆向きは局所的には成立するが、大域的な共役調和関数には単連結性が必要