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複素解析

複素数を「平面を変形させる操作」として動かす。正則関数・等角写像・複素積分から留数定理まで、高校の複素数平面を入口に図を触りながら学ぶ。

10章 ・ 19レッスン4レッスン無料初回閲覧の目安 約8時間

第1章から始める →プレミアムに加入(¥1,480/月)

関数を切り替えると、零点や極のまわりで色相が何周するかから、その位数が読み取れます。

z2z^2
0π/2π3π/2

色相 = 偏角(上の帯が凡例)・明るい = |f(z)| が大きい

色相 = arg⁡f(z)\arg f(z)、明るさ = ∣f(z)∣|f(z)| の単調な関数(零点で暗く、極で明るく)。暗い筋は偏角 0,π/2,π,3π/20, \pi/2, \pi, 3\pi/2 の等値線(巻き数を色に頼らず数えられます)。原点は2位の零点 — 原点の周りで色相が2周する

このレッスンで触る →複素関数を使う — 写像として読む

コースの目次

01複素数平面と複素関数 — 2枚の平面で見る2レッスン

複素数を極形式で扱い、複素関数をドメインカラーリングで写像として読み、ド・モアブルの定理で零点・極の位数を判定できるようになる。目安 80分

  1. 1-1複素数平面と複素関数無料
  2. 1-2複素関数を使う — 写像として読む無料
02正則性とコーシー・リーマン方程式2レッスン

複素微分可能性が実2変数の微分可能性より強い条件であることを理解し、コーシー・リーマン方程式で正則性を判定できるようになる。目安 80分

  1. 2-1複素微分と正則関数無料
  2. 2-2コーシー・リーマン方程式を使う無料
03等角写像 — 角を保つ変形2レッスン

正則関数がf'≠0の点で角度を保つ等角写像になることを理解し、ジューコフスキー変換で円が翼型に変形する仕組みと臨界点の意味を扱えるようになる。目安 80分

  1. 3-1等角写像とはプレミアム
  2. 3-2ジューコフスキー変換を使うプレミアム
04複素積分とコーシーの定理2レッスン

経路積分とコーシーの定理を理解し、コーシーの積分公式で正則関数の内部の値が境界の情報だけから決まることを扱えるようになる。目安 80分

  1. 4-1複素積分とコーシーの定理プレミアム
  2. 4-2コーシーの積分公式を使うプレミアム
05留数定理2レッスン

留数をローラン展開の1/(z-p)の係数として定義し、単純極・高階の極の留数公式から留数定理で閉曲線積分を計算できるようになる。目安 80分

  1. 5-1極と留数プレミアム
  2. 5-2留数定理を使うプレミアム
06実積分への応用・解析接続2レッスン

留数定理を使って実数の広義積分を計算できるようになり、一致の定理にもとづく解析接続と多価関数(対数関数)の分岐という発展的な考え方に触れる。目安 80分

  1. 6-1留数で実積分を解くプレミアム
  2. 6-2解析接続への入口プレミアム
07級数展開と特異点 — テイラーとローラン2レッスン

展開中心と特異点の位置からテイラー級数・ローラン級数の収束領域を判定し、主要部から孤立特異点の種類と留数を求められるようになる。目安 90分

  1. 7-1級数展開と特異点 — 収束円を動かすプレミアム
  2. 7-2ローラン展開と特異点 — 主要部から分類するプレミアム
08正則関数の大域的性質2レッスン

最大値原理とリウヴィルの定理の成立条件を説明し、代数学の基本定理・一致の定理・解析接続の一意性へ適用できるようになる。目安 80分

  1. 8-1正則関数の大域的性質 — 最大値と有界性プレミアム
  2. 8-2正則関数の大域的性質 — 零点と一意性プレミアム
09調和関数と物理2レッスン

正則関数の実部・虚部と調和関数の関係を導き、等高線の直交、平均値性、ポアソン積分、共役調和関数を扱えるようになる。目安 90分

  1. 9-1調和関数と物理 — 等高線と流線プレミアム
  2. 9-2調和関数と物理 — 境界から内部を復元するプレミアム
10総合演習1レッスン

複素数平面から調和関数までの定理と計算法を横断し、各問題で成立条件・収束領域・経路の向きを確認して解けるようになる。目安 60分

  1. 10-1総合演習 — 複素解析を一枚の地図にプレミアム