複素解析
複素数を「平面を変形させる操作」として動かす。正則関数・等角写像・複素積分から留数定理まで、高校の複素数平面を入口に図を触りながら学ぶ。
- 到達目標
- 正則関数・コーシー・リーマン方程式・等角写像・複素積分・留数定理を可視化で腹落ちさせ、実積分への応用まで自力で計算できるようになる。
- 初回閲覧の目安
- 約8時間(全19レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。
このコースの前提
定義・定理・公式まとめ
体感したレッスンから引ける、知識の地図です。
計算演習
何度でも新しい数値で練習できます。
第1章 複素数平面と複素関数 — 2枚の平面で見る
複素数を極形式で扱い、複素関数をドメインカラーリングで写像として読み、ド・モアブルの定理で零点・極の位数を判定できるようになる。目安 80分
第2章 正則性とコーシー・リーマン方程式
複素微分可能性が実2変数の微分可能性より強い条件であることを理解し、コーシー・リーマン方程式で正則性を判定できるようになる。目安 80分
第3章 等角写像 — 角を保つ変形
正則関数がf'≠0の点で角度を保つ等角写像になることを理解し、ジューコフスキー変換で円が翼型に変形する仕組みと臨界点の意味を扱えるようになる。目安 80分
第4章 複素積分とコーシーの定理
経路積分とコーシーの定理を理解し、コーシーの積分公式で正則関数の内部の値が境界の情報だけから決まることを扱えるようになる。目安 80分
第5章 留数定理
留数をローラン展開の1/(z-p)の係数として定義し、単純極・高階の極の留数公式から留数定理で閉曲線積分を計算できるようになる。目安 80分
第6章 実積分への応用・解析接続
留数定理を使って実数の広義積分を計算できるようになり、一致の定理にもとづく解析接続と多価関数(対数関数)の分岐という発展的な考え方に触れる。目安 80分
第7章 級数展開と特異点 — テイラーとローラン
展開中心と特異点の位置からテイラー級数・ローラン級数の収束領域を判定し、主要部から孤立特異点の種類と留数を求められるようになる。目安 90分
第8章 正則関数の大域的性質
最大値原理とリウヴィルの定理の成立条件を説明し、代数学の基本定理・一致の定理・解析接続の一意性へ適用できるようになる。目安 80分
第9章 調和関数と物理
正則関数の実部・虚部と調和関数の関係を導き、等高線の直交、平均値性、ポアソン積分、共役調和関数を扱えるようになる。目安 90分
第10章 総合演習
複素数平面から調和関数までの定理と計算法を横断し、各問題で成立条件・収束領域・経路の向きを確認して解けるようになる。目安 60分