微積分(大学)

「近づく」を主張と反証のゲームとして捉え直し、ε-δ論法で極限・連続・数列の収束を定義し反例まで扱えるようになる。目安 40分

1. 1-1ε-δ論法 — 「近づく」を数式で言い切る無料
2. 1-2ε-δを使う — 連続・数列・そして反例無料

テイラー展開を接線(1次近似)の延長として捉え、展開中心・次数と剰余項から近似の精度を評価できるようになる。目安 40分

1. 2-1テイラー展開 — 次数を上げて近づく無料
2. 2-2テイラー展開を使う — 近似と誤差プレミアム

無限級数を部分和の極限として定義し、比較・積分・比判定で収束を判定し、べき級数・テイラー級数の収束半径まで扱えるようになる。目安 40分

1. 3-1無限級数 — 足し続けると届く先プレミアム
2. 3-2収束判定とべき級数プレミアム

多変数関数を等高線と偏微分で読み、勾配ベクトルが最急上昇方向で等高線と直交する理由を理解し、全微分による接平面の近似まで計算できるようになる。目安 60分

1. 4-1偏微分 — 曲面を切って傾きを見るプレミアム
2. 4-2勾配と等高線 — 最速で登る方向プレミアム
3. 4-3全微分と接平面 — 曲面の線形近似プレミアム

停留点とヘッセ行列で極値・鞍点を判定し、勾配降下法の収束条件、ラグランジュ乗数法による制約付き最適化まで扱えるようになる。目安 60分

1. 5-1極値・鞍点 — 曲面の地形を読むプレミアム
2. 5-2勾配降下法 — MLの最適化を触るプレミアム
3. 5-3ラグランジュ乗数法 — 制約の中で最適を探すプレミアム

重積分を累次積分として計算し、ヤコビアンによる変数変換とガウス積分の導出まで扱えるようになる。目安 80分

1. 6-1重積分 — 体積を短冊で測るプレミアム
2. 6-2変数変換とヤコビアン — detの再登場プレミアム
3. 6-3ガウス積分 — 統計学の定数を導くプレミアム
4. 6-4総合演習 テイラー〜重積分総合演習プレミアム

ベクトル場と線積分を「場の中を歩く仕事」として捉え、保存場・ポテンシャルの判定とグリーンの定理(周回積分=回転の重積分)まで計算できるようになる。目安 40分

1. 7-1ベクトル場と線積分 — 場の中を歩くプレミアム
2. 7-2グリーンの定理 — 縁を歩けば中身が分かるプレミアム