微積分(大学)
大学の微積分。ε-δによる極限の厳密化から、テイラー展開・級数・多変数の微積分・ベクトル解析まで。計算の土台は高校数学コース第10〜16章で無料公開。
- 到達目標
- ε-δ論法による極限の定義から、テイラー展開・級数・多変数の微分積分・簡単なベクトル解析までを計算できるようになる。
- 初回閲覧の目安
- 約6時間(全18レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。
このコースの前提
高校数学の学び直しの内容(特に第16章 積分の技法と応用)を前提にします。不安があれば先に確認してください。
高校の極限・微分・積分の計算(第10〜16章)を、ε-δで厳密化し多変数・級数まで広げる。
定義・定理・公式まとめ
体感したレッスンから引ける、知識の地図です。
計算演習
何度でも新しい数値で練習できます。
第1章 極限の厳密化 — ε-δ論法
「近づく」を主張と反証のゲームとして捉え直し、ε-δ論法で極限・連続・数列の収束を定義し反例まで扱えるようになる。目安 40分
第2章 テイラー展開 — 多項式で近似する
テイラー展開を接線(1次近似)の延長として捉え、展開中心・次数と剰余項から近似の精度を評価できるようになる。目安 40分
第3章 級数
無限級数を部分和の極限として定義し、比較・積分・比判定で収束を判定し、べき級数・テイラー級数の収束半径まで扱えるようになる。目安 40分
第4章 多変数関数と偏微分
多変数関数を等高線と偏微分で読み、勾配ベクトルが最急上昇方向で等高線と直交する理由を理解し、全微分による接平面の近似まで計算できるようになる。目安 60分
第5章 多変数の最適化
停留点とヘッセ行列で極値・鞍点を判定し、勾配降下法の収束条件、ラグランジュ乗数法による制約付き最適化まで扱えるようになる。目安 60分
第6章 重積分
重積分を累次積分として計算し、ヤコビアンによる変数変換とガウス積分の導出まで扱えるようになる。目安 80分
第7章 ベクトル解析入門
ベクトル場と線積分を「場の中を歩く仕事」として捉え、保存場・ポテンシャルの判定とグリーンの定理(周回積分=回転の重積分)まで計算できるようになる。目安 40分
この基礎を使う応用コースへ
ロードマップ →ここで身につけた道具が、そのまま次の土台になります。大学コースはどれも第1章が無料です。
微分方程式 へ
第1章無料 →微分・積分が解ければ、変化の法則そのもの(微分方程式)を解いて未来を予測できる。
フーリエ解析 へ
第1章無料 →積分を内積とみなすと、どんな波もサイン・コサインの成分に分解できる。
機械学習の数学 へ
第1章無料 →勾配と偏微分が、損失を最小化する学習(勾配降下・逆伝播)そのもの。
複素解析 へ
第1章無料 →実関数の微分・積分を複素平面へ広げると、正則性という強い構造が現れる。
ベクトル解析 へ
第1章無料 →多変数の微積を、勾配・発散・回転というベクトル場の言葉へ広げる。
偏微分方程式 へ
第1章無料 →多変数の偏微分で、熱・波動・ラプラスといった場の方程式を扱う。
微分幾何 へ
第1章無料 →曲線・曲面を微積で測り、曲がり方(曲率)として捉える。
トポロジー へ
第1章無料 →極限・連続の概念を、距離によらない「近さ」へ一般化する。