微分幾何

曲線と曲面の「曲がり」の数学。パラメータを動かして接線・法線・曲率円を追い、3D曲面を変形しながら第一/第二基本形式・ガウス曲率・測地線を掴む。ベクトル解析の先、多様体・機械学習への橋渡し。

到達目標: 曲線の曲率・捩率、曲面の第一/第二基本形式、ガウス曲率と測地線を可視化で理解し、Theorema Egregium やリーマン幾何・機械学習(多様体)の入口に立てるようになる。
初回閲覧の目安: 約6時間(全19レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。

このコースの前提

微積分(大学)の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。
曲線・曲面を微積で測り、曲がり方(曲率)として捉える。
線形代数の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。
接空間・第一基本形式は、線形代数(内積・二次形式)そのもの。

定義・定理・公式まとめ

体感したレッスンから引ける、知識の地図です。

何度でも新しい数値で練習できます。

第1章　平面曲線と曲率

パラメータ曲線の接線・法線・曲率円を可視化で捉え、曲率の公式 $\kappa=|x'y''-y'x''|/v^3$ で円・放物線・楕円の曲がり方を手計算できるようになる。目安 60分

第2章　空間曲線とフレネ枠

空間曲線のフレネ枠 $T,N,B$ を常螺旋で可視化し、曲率 $\kappa$ と捩率 $\tau$ を実際に計算できるようになる。目安 60分

第3章　曲面と第一基本形式

曲面の接ベクトル $x_u,x_v$ から第一基本形式 $E,F,G$ を定め、球の全表面積 $4\pi R^2$ を第一基本形式だけから導出できるようになる。目安 60分

第4章　第二基本形式と主曲率

法曲率とオイラーの公式 $\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$ を理解し、球・円柱・鞍面で主曲率を実際に計算できるようになる。目安 60分

第5章　ガウス曲率と平均曲率

ガウス曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$ の符号で曲面を楕円点・双曲点・放物点に分類し、Theorema Egregium(等長変形でKが不変)を平面から円柱への曲げで体感する。目安 60分

第6章　測地線

曲面上の最短経路である測地線を球の大円・円柱の螺旋で可視化し、測地線方程式とクリストッフェル記号を極座標の平面で実際に計算できるようになる。目安 60分

第7章　曲面のギャラリー — 回転面・線織面・極小曲面

回転面・線織面のパラメータ表示を読み、カテノイドとヘリコイドの第一基本形式・平均曲率を計算して局所等長性と極小性を説明できるようになる。目安 60分

第8章　平行移動とホロノミー — 共変微分

共変微分と平行移動を座標・射影の両方で捉え、球面の緯度円に沿うホロノミー角 $2\pi(1-\cos\theta)$ を曲率積分として計算できるようになる。目安 60分

第9章　ガウス・ボンネの定理 — 曲率と位相の橋

局所・大域ガウス・ボンネの成立条件を区別し、球面三角形の角超過と球面・トーラスの全曲率をオイラー標数へ結び付けられるようになる。目安 60分

第10章　総合演習

第1〜9章の曲率・計量・接続・測地線・ホロノミー・全曲率を横断し、適用条件を確認しながら手計算できるようになる。目安 75分

総合演習 — 第1〜9章をつなぐ総合演習プレミアム

微分幾何

第1章 平面曲線と曲率

第2章 空間曲線とフレネ枠

第3章 曲面と第一基本形式

第4章 第二基本形式と主曲率

第5章 ガウス曲率と平均曲率

第6章 測地線

第7章 曲面のギャラリー — 回転面・線織面・極小曲面

第8章 平行移動とホロノミー — 共変微分

第9章 ガウス・ボンネの定理 — 曲率と位相の橋

第10章 総合演習