微分幾何

パラメータ曲線の接線・法線・曲率円を可視化で捉え、曲率の公式 $\kappa=|x'y''-y'x''|/v^3$ で円・放物線・楕円の曲がり方を手計算できるようになる。目安 60分

1. 1-1曲率と曲率円無料
2. 1-2曲率を計算する無料

空間曲線のフレネ枠 $T,N,B$ を常螺旋で可視化し、曲率 $\kappa$ と捩率 $\tau$ を実際に計算できるようになる。目安 60分

1. 2-1接線・主法線・従法線プレミアム
2. 2-2曲率と捩率プレミアム

曲面の接ベクトル $x_u,x_v$ から第一基本形式 $E,F,G$ を定め、球の全表面積 $4\pi R^2$ を第一基本形式だけから導出できるようになる。目安 60分

1. 3-1曲面のパラメータ表示と計量プレミアム
2. 3-2弧長と面積プレミアム

法曲率とオイラーの公式 $\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$ を理解し、球・円柱・鞍面で主曲率を実際に計算できるようになる。目安 60分

1. 4-1法曲率とオイラーの公式プレミアム
2. 4-2主曲率と主方向プレミアム

ガウス曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$ の符号で曲面を楕円点・双曲点・放物点に分類し、Theorema Egregium(等長変形でKが不変)を平面から円柱への曲げで体感する。目安 60分

1. 5-1ガウス曲率と曲面の分類プレミアム
2. 5-2Theorema Egregiumプレミアム

曲面上の最短経路である測地線を球の大円・円柱の螺旋で可視化し、測地線方程式とクリストッフェル記号を極座標の平面で実際に計算できるようになる。目安 60分

1. 6-1曲面上の最短線プレミアム
2. 6-2測地線方程式プレミアム

回転面・線織面のパラメータ表示を読み、カテノイドとヘリコイドの第一基本形式・平均曲率を計算して局所等長性と極小性を説明できるようになる。目安 60分

1. 7-1曲面のギャラリー — 回転面・線織面・極小曲面プレミアム
2. 7-2曲面の計量と曲率 — 第一基本量と極小曲面プレミアム

共変微分と平行移動を座標・射影の両方で捉え、球面の緯度円に沿うホロノミー角 $2\pi(1-\cos\theta)$ を曲率積分として計算できるようになる。目安 60分

1. 8-1平行移動とホロノミー — 球面で向きのずれを見るプレミアム
2. 8-2共変微分を計算する — 自己平行と曲率プレミアム

局所・大域ガウス・ボンネの成立条件を区別し、球面三角形の角超過と球面・トーラスの全曲率をオイラー標数へ結び付けられるようになる。目安 60分

1. 9-1測地三角形を測る — 内角和と曲率プレミアム
2. 9-2ガウス・ボンネの定理 — 曲率と位相の橋プレミアム

第1〜9章の曲率・計量・接続・測地線・ホロノミー・全曲率を横断し、適用条件を確認しながら手計算できるようになる。目安 75分

1. 10-1総合演習 — 第1〜9章をつなぐ総合演習プレミアム