曲率を計算する — 円・放物線・楕円

前レッスンで触った「曲がりの強さ」を、実際に手を動かして計算してみましょう。使う式はこれだけです。

v=\sqrt{x'^2+y'^2},\qquad \kappa = \frac{|x'y''-y'x''|}{v^{3}},\qquad R=\frac{1}{\kappa}

円の曲率 — 半径の逆数

円 $r(t)=(a\cos t,\ a\sin t)$ (半径 $a$ )を計算してみます。

x'=-a\sin t,\quad y'=a\cos t,\quad x''=-a\cos t,\quad y''=-a\sin t

$v=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t}=a$ (一定)。分子は

x'y''-y'x''=(-a\sin t)(-a\sin t)-(a\cos t)(-a\cos t)=a^2\sin^2t+a^2\cos^2t=a^2

なので

\kappa=\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a},\qquad R=a

円の曲率半径は半径そのもの——曲率円が円自身にぴったり重なる理由がここにあります。 $t$ にはよりません(円はどこでも同じ強さで曲がる)。

放物線 $r(t)=(t,\ t^2)$ を計算します。

x'=1,\quad y'=2t,\quad x''=0,\quad y''=2

$v=\sqrt{1+4t^2}$ 、分子は $x'y''-y'x''=1\cdot2-2t\cdot0=2$ なので

\kappa(t)=\frac{2}{(1+4t^2)^{3/2}}

$t=0$ (頂点)で $\kappa(0)=2$ 、 $R(0)=1/2$ が最大の曲率(最小の曲率半径)です。 $|t|$ が大きくなると分母が急に増えて $\kappa\to0$ 、 $R\to\infty$ ——放物線は頂点から離れるほど直線に近づいていきます。

楕円 $r(t)=(a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a,b>0$ )では

\kappa(t)=\frac{ab}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{3/2}}

になります(円の場合の一般化で、 $a=b$ とすると上の $\kappa=1/a$ に戻ります)。 $t=0$ (長軸の先端、点 $(a,0)$ )では

\kappa(0)=\frac{ab}{b^3}=\frac{a}{b^2}

$a>b$ (横長の楕円)なら $a/b^2$ は大きく——長軸の先端は曲率半径が小さく、きつく曲がっています。逆に $t=\pi/2$ (短軸の先端、点 $(0,b)$ )では $\kappa(\pi/2)=b/a^2$ となり、 $a>b$ なら小さい値——短軸の先端は緩やかに曲がっています。

前レッスンの図で、計算した値と一致するか確認できます。楕円を選び $t=0$ ( $a=2.2,b=1.3$ )にすると $\kappa=a/b^2=2.2/1.3^2\approx1.302$ になっているはずです。

t0.00

円

x=1.6\cos t,\ y=1.6\sin t

。速さ

v=1.60

、弧長

s=0.00

、曲率

\kappa=0.625

、曲率半径

R=1.60

赤=接線ベクトルT　緑=法線ベクトルN　紫の点線円=曲率円(接触円)

曲率円は「その点で曲線にもっとも近くぴったり沿う円」です。曲率円の半径 $R=1/\kappa$ が小さいほどきつく曲がり、大きいほど緩やかです。曲率円の中心は、点から法線 $N$ の向きに $R$ だけ進んだ場所(曲線が曲がっていく側=凹んでいる側)にあります。

成立条件: $\kappa=0$ (変曲点、たとえば直線や $y=x^3$ の原点)では曲率半径 $R=1/\kappa$ が発散し、曲率円は定義できません。曲率円は $\kappa\neq0$ の点でのみ意味を持ちます。

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

放物線 $y=3x^2$ (つまり $r(t)=(t,3t^2)$ )の頂点( $t=0$ )における曲率 $\kappa$ はいくつですか?

答え

確認 2 / 3

楕円 $r(t)=(4\cos t, 2\sin t)$ の $t=0$ (点 $(4,0)$ )における曲率半径 $R$ はいくつですか?

答え

確認 3 / 3

曲率円(接触円)が定義できないのはどんなときですか?

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: 梅原雅顕・山田光太郎『曲線と曲面』(裳華房) / 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』(裳華房) / do Carmo『Differential Geometry of Curves and Surfaces』(Dover)

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