前レッスンで触った「曲がりの強さ」を、実際に手を動かして計算してみましょう。使う式はこれだけです。
v = x ′ 2 + y ′ 2 , κ = ∣ x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ ∣ v 3 , R = 1 κ v=\sqrt{x'^2+y'^2},\qquad
\kappa = \frac{|x'y''-y'x''|}{v^{3}},\qquad
R=\frac{1}{\kappa} v = x ′2 + y ′2 , κ = v 3 ∣ x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ∣ , R = κ 1 円の曲率 — 半径の逆数
円 r ( t ) = ( a cos t , a sin t ) r(t)=(a\cos t,\ a\sin t) r ( t ) = ( a cos t , a sin t ) a a a
x ′ = − a sin t , y ′ = a cos t , x ′ ′ = − a cos t , y ′ ′ = − a sin t x'=-a\sin t,\quad y'=a\cos t,\quad x''=-a\cos t,\quad y''=-a\sin t x ′ = − a sin t , y ′ = a cos t , x ′′ = − a cos t , y ′′ = − a sin t v = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t = a v=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t}=a v = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t = a
x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ = ( − a sin t ) ( − a sin t ) − ( a cos t ) ( − a cos t ) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t = a 2 x'y''-y'x''=(-a\sin t)(-a\sin t)-(a\cos t)(-a\cos t)=a^2\sin^2t+a^2\cos^2t=a^2 x ′ y ′′ − y ′ x ′′ = ( − a sin t ) ( − a sin t ) − ( a cos t ) ( − a cos t ) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t = a 2 なので
κ = a 2 a 3 = 1 a , R = a \kappa=\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a},\qquad R=a κ = a 3 a 2 = a 1 , R = a 円の曲率半径は半径そのもの です。曲率円が円自身にぴったり重なる理由がここにあります。t t t
放物線の曲率 — 頂点で最大
放物線 r ( t ) = ( t , t 2 ) r(t)=(t,\ t^2) r ( t ) = ( t , t 2 )
x ′ = 1 , y ′ = 2 t , x ′ ′ = 0 , y ′ ′ = 2 x'=1,\quad y'=2t,\quad x''=0,\quad y''=2 x ′ = 1 , y ′ = 2 t , x ′′ = 0 , y ′′ = 2 v = 1 + 4 t 2 v=\sqrt{1+4t^2} v = 1 + 4 t 2 x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ = 1 ⋅ 2 − 2 t ⋅ 0 = 2 x'y''-y'x''=1\cdot2-2t\cdot0=2 x ′ y ′′ − y ′ x ′′ = 1 ⋅ 2 − 2 t ⋅ 0 = 2
κ ( t ) = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3 / 2 \kappa(t)=\frac{2}{(1+4t^2)^{3/2}} κ ( t ) = ( 1 + 4 t 2 ) 3/2 2 t = 0 t=0 t = 0 κ ( 0 ) = 2 \kappa(0)=2 κ ( 0 ) = 2 R ( 0 ) = 1 / 2 R(0)=1/2 R ( 0 ) = 1/2 ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ κ → 0 \kappa\to0 κ → 0 R → ∞ R\to\infty R → ∞
楕円の曲率 — 長軸の先端と短軸の先端で違う
楕円 r ( t ) = ( a cos t , b sin t ) r(t)=(a\cos t,\ b\sin t) r ( t ) = ( a cos t , b sin t ) a , b > 0 a,b>0 a , b > 0
κ ( t ) = a b ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) 3 / 2 \kappa(t)=\frac{ab}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{3/2}} κ ( t ) = ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) 3/2 ab になります(円の場合の一般化で、a = b a=b a = b κ = 1 / a \kappa=1/a κ = 1/ a t = 0 t=0 t = 0 ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 )
κ ( 0 ) = a b b 3 = a b 2 \kappa(0)=\frac{ab}{b^3}=\frac{a}{b^2} κ ( 0 ) = b 3 ab = b 2 a a > b a>b a > b a / b 2 a/b^2 a / b 2 t = π / 2 t=\pi/2 t = π /2 ( 0 , b ) (0,b) ( 0 , b ) κ ( π / 2 ) = b / a 2 \kappa(\pi/2)=b/a^2 κ ( π /2 ) = b / a 2 a > b a>b a > b
確かめてみよう
前レッスンの図で、計算した値と一致するか確認できます。楕円を選び t = 0 t=0 t = 0 a = 2.2 , b = 1.3 a=2.2,b=1.3 a = 2.2 , b = 1.3 κ = a / b 2 = 2.2 / 1.3 2 ≈ 1.302 \kappa=a/b^2=2.2/1.3^2\approx1.302 κ = a / b 2 = 2.2/1. 3 2 ≈ 1.302
円 放物線 楕円 対数らせん
t 0.00
円 x = 1.6 cos t , y = 1.6 sin t x=1.6\cos t,\ y=1.6\sin t x = 1.6 cos t , y = 1.6 sin t v = 1.60 v=1.60 v = 1.60 s = 0.00 s=0.00 s = 0.00 κ = 0.625 \kappa=0.625 κ = 0.625 R = 1.60 R=1.60 R = 1.60 赤=接線ベクトルT 緑=法線ベクトルN 紫の点線円=曲率円(接触円) 曲率円(接触円)の意味
曲率円は「その点で曲線にもっとも近くぴったり沿う円 」です。曲率円の半径 R = 1 / κ R=1/\kappa R = 1/ κ r + N / κ signed r+N/\kappa_{\text{signed}} r + N / κ signed κ signed > 0 \kappa_{\text{signed}}>0 κ signed > 0 N N N R R R
成立条件 : κ = 0 \kappa=0 κ = 0 y = x 3 y=x^3 y = x 3 R = 1 / κ R=1/\kappa R = 1/ κ κ ≠ 0 \kappa\neq0 κ = 0 変曲点 と呼びます(y = x 3 y=x^3 y = x 3 κ = 0 \kappa=0 κ = 0
理解チェック
式で確かめる 動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。
確認 1 / 3
放物線 y = 3 x 2 y=3x^2 y = 3 x 2 r ( t ) = ( t , 3 t 2 ) r(t)=(t,3t^2) r ( t ) = ( t , 3 t 2 ) t = 0 t=0 t = 0 κ \kappa κ
確認 2 / 3
楕円 r ( t ) = ( 4 cos t , 2 sin t ) r(t)=(4\cos t, 2\sin t) r ( t ) = ( 4 cos t , 2 sin t ) t = 0 t=0 t = 0 ( 4 , 0 ) (4,0) ( 4 , 0 ) R R R
確認 3 / 3
曲率円(接触円)が定義できないのはどんなときですか?
κ = 0 \kappa=0 κ = 0 R = 1 / κ R=1/\kappa R = 1/ κ t = 0 t=0 t = 0 曲線が閉じているとき 曲線が円のとき 執筆: 古郷優平 ／ 監修: 古郷優平
中野竜之介 : 北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり
数学レビュー協力: 榎本颯斗・中野竜之介
最終更新: 2026-07-05
主な参考文献: 梅原雅顕・山田光太郎『曲線と曲面』(裳華房) / 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』(裳華房) / do Carmo『Differential Geometry of Curves and Surfaces』(Dover)
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