平面曲線を動かす — 速度・弧長・曲がり具合

これまで扱ってきた曲線は $y=f(x)$ のグラフ、つまり「$x$ を決めると $y$ が1つ決まる」形でした。 ここからはパラメータ $t$ で位置が決まる曲線 $r(t)=(x(t),y(t))$ を主役にします。 $t$ を「時刻」だと思うと、$r(t)$ は時刻 $t$ にその点がどこにいるかを表す軌道です。

触ってみる — 曲線の上を動く点

下の図で、曲線(円・放物線・楕円・対数らせん)を切り替えられます。スライダーで $t$ を動かすと、 その曲線上の点と、そこでの接線ベクトルT(赤)・法線ベクトルN(緑)・曲率円(紫の点線円)が一緒に動きます。

円放物線楕円対数らせん

t0.00

• 円を選ぶと、曲率円は常に元の円そのものに重なります。円はどこでも同じ強さで曲がっている(曲率が一定)ということです
• 放物線を選ぶと、頂点($t=0$)で曲率円が一番小さくなり、頂点から離れるほど曲率円は急に大きくなって画面からはみ出します。頂点付近が一番きつく曲がっている、ということです
• 楕円では、長軸の先端($t=0$ 付近、点 $(a,0)$)ほど曲率円が小さく(きつく曲がり)、短軸の端($t=\pi/2$ 付近、点 $(0,b)$)ほど曲率円が大きく(緩やかに曲がり)ます

数式で見る — 速度・速さ・弧長

$r(t)=(x(t),y(t))$ を $t$ で微分すると速度ベクトルになります。

$$r'(t) = (x'(t),\ y'(t))$$

速度ベクトルの大きさが速さです。

$$v = |r'(t)| = \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$$

以下では正則な曲線、つまり速さが常に正($r'(t)\neq 0$、$v>0$)である曲線を考えます。速さが $0$ になる点(尖点など)では進行方向が定まらず、下の単位接ベクトル $T$ を定義できないからです。

速度ベクトルを大きさ1に正規化したものが単位接ベクトル$T$(進行方向だけを表す矢印)です。

$$T = \frac{r'(t)}{v}$$

$T$ を反時計回りに $90°$ 回転させたものが単位法線ベクトル$N$(進行方向と直角の左向き)です。この図の曲線のように左回り(符号付き曲率が正)なら、$N$ は曲線が曲がっていく側(凹側)を向きます。

曲線に沿って実際に進んだ距離(弧長)は、速さを時間で積分したものです。

$$s = \int \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\ dt$$

図の下に表示されている $s$ は、そのスライダー範囲の始点から今の $t$ までの弧長です。

曲がりの強さ=曲率

「速さ」は動く速さを測る量でした。ここからは「どれだけ急に曲がっているか」を測る量(曲率$\kappa$)を考えます。

$$\kappa = \frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$$

曲率が大きいほど急に曲がり、小さいほど緩やかです。曲率の逆数を曲率半径$R=1/\kappa$といい、 「その点にもっとも近くぴったり沿う円(曲率円・接触円)」の半径になります。曲率円の中心は、 点 $r$ から法線 $N$ の向きに符号付き曲率で決まる分だけ進んだ場所(一般には $r+N/\kappa_{\text{signed}}$)で、凹んでいる側にあります。図の左回りの曲線では単純に $N$ の向きに $R$ だけ進んだ点です。

• 円(半径 $r$)はどこでも $\kappa=1/r$ で一定です。曲率円が円自身に一致するのはこのためです
• 放物線 $y=x^2$ は頂点($t=0$)で $\kappa=2$、$R=1/2$です。上の図と一致しています

どこで効くのか

• 道路・鉄道のカーブ設計: 曲率半径が小さい(きついカーブ)ほど、安全に曲がれる速度は下がります
• ジェットコースター: 同じ速さで走る場合、曲率が大きい区間ほど法線加速度 $a_n=v^2\kappa$ が大きく、体感するGフォースが強くなります
• 次章の予告: 空間の中の曲線ではもう1つ、曲線がその平面から"ねじれて"外れていく度合いを表す捩率(れいりつ)が登場します

試してみよう

• 楕円で $t$ を $0$ から少しずつ増やすと、曲率円の大きさはどう変わりますか?($t=0$ は長軸の先端で一番きつく曲がり[$R$ 最小]、短軸に近づくほど緩やかになります[$R$ 最大])
• 対数らせんで $t$ を大きくしていくと、曲率円はどうなりますか?(らせんが外側に広がるにつれて曲率円もどんどん大きくなります。曲率は $1/(\text{半径}\times\text{定数})$ の形で小さくなっていきます)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

単位接ベクトル $T$ の向きが表しているものは?

曲線が囲む領域の中心方向曲線の始点の方向その点での曲線の進行方向(速度ベクトルの向き)常に $x$ 軸の正の向き

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確認 2 / 3

円 $r(t)=(2\cos t, 2\sin t)$(半径2)の曲率 $\kappa$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

放物線 $y=x^2$ で、頂点($t=0$)から離れるほど曲率円はどうなりますか?

変わらない曲率円は存在しなくなる急に大きくなる(曲率が小さくなる=緩やかに曲がる)小さくなる(曲率が大きくなる)

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