定義・定理・公式まとめ

$r'(t)=(x'(t),y'(t))$、$v=|r'(t)|=\sqrt{x'^2+y'^2}$

パラメータ $t$ を時刻だと思ったときの、瞬間の進む向きと速さ

$T=\dfrac{r'(t)}{v}$

速度ベクトルの大きさを1にしたもの。その点での進行方向だけを表す矢印

成立条件: $v=|r'(t)|\neq0$(速度ゼロの点=特異点では $T$ が定義できない)

$N$ は $T$ を反時計回りに $90°$ 回転したもの

進行方向と直角で、曲線が曲がっていく側を指す矢印

$s=\displaystyle\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$

曲線に沿って実際に進んだ距離。速さを時間で積分したもの

$\kappa=\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$(符号付き: $\kappa_{\pm}=\dfrac{x'y''-y'x''}{v^3}$)

その点での「曲がりの強さ」。大きいほど急に曲がる

成立条件: $v=|r'(t)|\neq0$(正則な曲線であること、$v^3$ で割るため)。アンカー値: 円(半径 $a$)は $\kappa=1/a$ で一定。放物線 $y=x^2$ の頂点は $\kappa=2$。楕円 $(a\cos t,b\sin t)$ の長軸先端($t=0$)は $\kappa=a/b^2$

$R=1/\kappa$、中心 $=r+R\,N$(曲がっていく側)

その点にもっとも近くぴったり沿う円。円なら曲率円は円自身に一致する

成立条件: $\kappa\neq0$(変曲点では $R\to\infty$ となり曲率円が定義できない)

$T=\dfrac{r'}{|r'|}$、$B=\dfrac{r'\times r''}{|r'\times r''|}$、$N=B\times T$

空間曲線の各点に取り付いた「進行方向・曲がる方向・ねじれの基準」の3本の直交軸

成立条件: $r'\neq0$(正則な曲線)かつ $r'\times r''\neq0$($\kappa\neq0$、局所的に直線でないこと)。この2条件がないと $T$ や $B$ が定義できない

$\kappa=\dfrac{|r'\times r''|}{|r'|^3}$

接触平面の中でどれだけ急に曲がっているか

成立条件: $r'\neq0$(正則な曲線であること、$|r'|^3$ で割るため)

$\tau=\dfrac{(r'\times r'')\cdot r'''}{|r'\times r''|^2}$

曲線がその接触平面からどれだけ速くねじれて外れていくか

成立条件: $\kappa\neq0$ が前提。平面曲線は常に $\tau=0$

$\dfrac{dT}{ds}=\kappa N,\quad \dfrac{dN}{ds}=-\kappa T+\tau B,\quad \dfrac{dB}{ds}=-\tau N$

弧長 $s$ で見たとき、フレネ枠がどう回転していくかをまとめた基本方程式

アンカー値: 常螺旋 $r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ は $\kappa=a/(a^2+b^2)$、$\tau=b/(a^2+b^2)$(ともに一定)。$a=b=1$ で $\kappa=\tau=1/2$

$E=x_u\cdot x_u,\quad F=x_u\cdot x_v,\quad G=x_v\cdot x_v$

曲面の接ベクトル $x_u,x_v$ の内積から作る、曲面上の「物差し」の係数

成立条件: 正則パラメータ表示であること($x_u\times x_v\neq0$、同値に $EG-F^2>0$)。退化点では接平面自体が定義できない

$ds^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$

$(u,v)$ をわずかに動かしたときに空間内で実際にどれだけ進むか

アンカー値: 平面は $E=1,F=0,G=1$。半径Rの球(緯度u・経度v)は $E=R^2,F=0,G=R^2\cos^2u$。半径Rの円柱(高さu・角度v)は $E=1,F=0,G=R^2$

$dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$

第一基本形式だけから曲面の面積を計算できる

成立条件: $EG-F^2>0$(接ベクトルが退化しない点)。アンカー値: 半径Rの球の全表面積は $4\pi R^2$

$n=\dfrac{x_u\times x_v}{|x_u\times x_v|}$、$L=x_{uu}\cdot n,\ M=x_{uv}\cdot n,\ N=x_{vv}\cdot n$

曲面が単位法線方向にどれだけ曲がっているかを2階微分で測る

成立条件: 正則パラメータ表示であること($x_u\times x_v\neq0$)。この条件がないと単位法線 $n$ が定義できない

$\kappa_n=\dfrac{L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2}{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}$、主方向から測ると $\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$

その方向にまっすぐ進んだときの曲がり具合。方向を一周させると $\kappa_1$(最大)〜$\kappa_2$(最小)の間を往復する

$(EG-F^2)\kappa^2-(EN+GL-2FM)\kappa+(LN-M^2)=0$ の解が $\kappa_1,\kappa_2$

第二基本形式を第一基本形式で測ったときの伸び縮み率(固有値)

成立条件: $EG-F^2\neq0$(正則パラメータ表示。これがないと2次方程式の最高次係数が0になり退化する)。アンカー値: 半径Rの球は $\kappa_1=\kappa_2=1/R$。半径Rの円柱は $\kappa_1=1/R,\kappa_2=0$。平面は $0,0$。鞍 $z=xy$ の原点は $\kappa_1=1,\kappa_2=-1$(主方向は対角、$F=0$ でも $M\neq0$ のため座標軸は主方向にならない)

$K=\kappa_1\kappa_2=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$、$H=\dfrac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$

$K$=曲がり方の性質(正=お椀型/負=鞍型/0=まっすぐな方向を持つ)、$H$=曲がりの平均

成立条件: $EG-F^2\neq0$(正則パラメータ表示)。アンカー値: 球 $K=1/R^2$(>0)。円柱・平面 $K=0$。鞍 $z=xy$ の原点 $K=-1$(<0)

$K$ は第一基本形式 $E,F,G$ だけで決まる内在量

曲面を(伸縮せず)曲げても $K$ は変わらない。曲げ方(外在的な形、$H$ を含む)は変わってよい

成立条件: 等長変形(伸縮しない曲げ)に限る。例: 平面を円柱へ曲げても $E,F,G$ は不変なので $K\equiv0$ のまま(球と平面はKが異なるため等長にならない=地図が必ず歪む理由)

$\dfrac{d^2u^k}{dt^2}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0$

曲面の中だけで見て「まっすぐ」進む曲線(局所的な最短経路)が満たす方程式。$\Gamma$ は $E,F,G$ とその偏微分だけから決まる

成立条件: パラメータ $t$ が弧長(または弧長に比例するaffineパラメータ)であること。一般のパラメータでは右辺に $du^k/dt$ に比例する項が追加で必要になる

平面: 直線。球面: 大円。円柱: 螺旋・直線・円

$E,F,G$ が一定の曲面(平面・円柱)ではΓ≡0となり(u,v)空間でそのまま直線。球では対称性(赤道・子午線)から大円が導かれる

アンカー: 球面上の測地線は必ず大円(球の中心を通る平面での切り口)になる

平面の極座標 $(r,\theta)$: $\Gamma^2_{12}=1/r,\ \Gamma^1_{22}=-r$(他は0)

曲面自体は曲がっていなくても、座標系(パラメータ)の取り方によってΓは0でなくなる

θ方向の式は $d(r^2\theta')/dt=0$(角運動量保存)と同値で、直交座標に戻すと単なる等速直線運動になる

$x(u,v)=\left(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v)\right)$

平面曲線 $(f(v),g(v))$ を回転軸のまわりに回して曲面を作る

成立条件: 通常の座標パッチでは $f(v)>0$ かつ $f'(v)^2+g'(v)^2>0$。回転軸上の点は座標特異点として別パッチで扱う

$x(u,v)=a(u)+v\,b(u)$

$u$ を固定した $v$ 方向の座標曲線が直線になる曲面。一葉双曲面とヘリコイドが例

成立条件: 扱う範囲で $x_u\times x_v\neq0$。線織面であることだけから $K$ や $H$ の値は決まらない

$I=a^2\cosh^2v\left(du^2+dv^2\right)$、$H=0$、$K=-1/\left(a^2\cosh^4v\right)$

主曲率が同じ大きさで反対符号になり、平均曲率が相殺する回転極小曲面

成立条件: $a>0$。選んだ法線で $F=M=0$ なので座標方向が主方向。法線を反転すると主曲率と $H$ の符号は反転するが、$H=0$ と $K$ は不変

$x_C(u,v)\mapsto x_H(u,v)$、両方で $I=a^2\cosh^2v\left(du^2+dv^2\right)$

外見と第二基本形式は異なっても、対応する曲線の長さ・角度・面積を保つ

成立条件: $u$ を1枚の座標パッチに制限した局所対応。カテノイドでは $u$ と $u+2\pi$ が同一点だが、ヘリコイドでは高さが変わるため大域的な1価写像ではない

$H=0\iff\left.\dfrac{d}{dt}\operatorname{Area}(M_t)\right|_{t=0}=0$（任意のコンパクト台を持つ法線変分）

平均曲率0は面積の第一変分が消える停留条件

成立条件: $C^2$ 級の向き付けられた正則曲面と、境界を固定する滑らかな法線変分。$H=0$ は大域的な面積最小を単独では保証しない

$\nabla_{\dot\gamma}V=\operatorname{proj}_{T_{\gamma(t)}M}\left(\dfrac{dV}{dt}\right)$

空間微分から法線成分を除き、曲面の内側で観測できる変化だけを残す

成立条件: $C^2$ 級の正則埋め込み曲面、$C^1$ 級曲線と曲線に沿う $C^1$ 級接ベクトル場。射影式は曲面が $\mathbb{R}^3$ に埋め込まれた場合の Levi-Civita 接続

$\left(\nabla_{\dot\gamma}V\right)^k=\dfrac{dV^k}{dt}+\displaystyle\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\dfrac{du^i}{dt}V^j$

クリストッフェル記号が、場所とともに変わる座標基底の分を補正する

Levi-Civita 接続は計量を保ち、捩れを持たない。成分 $\Gamma^k_{ij}$ は座標依存だが、共変微分そのものは幾何学的に定まる

$\nabla_{\dot\gamma}V=0$

接平面内で余計に回さずベクトルを運び、長さとベクトル間の角度を保存する

成立条件: 初期ベクトルと区分的 $C^1$ 級曲線を指定し、Levi-Civita 接続を使う。係数が連続な区間では平行ベクトル場が一意に定まる

$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$

曲線の速度ベクトル自身を曲線に沿って平行移動するという、第6章の測地線の再解釈

成立条件: $t$ は弧長または弧長の1次関数であるアフィンパラメータ。一般のパラメータでは右辺が $\dot\gamma$ に比例する項を持つ

$\Delta\equiv\displaystyle\iint_DK\,dA\pmod{2\pi}$、球冠では $\Delta=2\pi\left(1-\cos\theta\right)$

閉曲線を一周したベクトルの回転が、囲んだ領域の全曲率として残る

成立条件: 向き付けられた $C^2$ 級曲面上で、区分的に滑らかな単純閉曲線が円板型領域 $D$ を囲む。符号は向きの規約に依存し、角度は $2\pi$ を法として解釈する。アンカー: $\theta=\pi/3$ で $\Delta=\pi=180^{\circ}$

$\displaystyle\iint_DK\,dA+\displaystyle\int_{\partial D}k_g\,ds+\displaystyle\sum_i\varepsilon_i=2\pi\chi(D)$

領域内部の曲率・境界の曲がり・角での回転を足すと、領域の位相だけが残る

成立条件: 向き付けられた $C^2$ 級曲面、コンパクト領域 $D$、正の向きの区分的 $C^2$ 級単純閉境界。角では左右の接線が存在すること。円板型なら $\chi(D)=1$

$\alpha+\beta+\gamma-\pi=\displaystyle\iint_DK\,dA$

正曲率では内角和が大きく、負曲率では小さくなる。ずれは囲んだ全曲率に等しい

成立条件: 境界が3本の測地線分からなる単純な円板型領域。測地線でない辺があれば $\displaystyle\int k_g\,ds$ を省けない。球面八分円では角超過も曲率積分も $\pi/2$

$\displaystyle\iint_MK\,dA=2\pi\chi(M)$

閉曲面の曲率を全部足すと、計量の形ではなくオイラー標数で決まる

成立条件: $M$ は向き付け可能なコンパクト $C^2$ 級曲面で境界なし。境界があれば測地的曲率積分を、角があれば外角和を追加する

$K=1/R^2$、$\operatorname{Area}\left(S_R^2\right)=4\pi R^2$、$\displaystyle\iint_{S_R^2}K\,dA=4\pi=2\pi\cdot2$

半径による曲率の減少と面積の増加が打ち消し合い、$\chi(S^2)=2$ だけが残る

成立条件: $R>0$。四面体分割で $\chi=V-E+F=4-6+4=2$。半径 $R=3$ の数値積分は $12.5663706186\approx4\pi$

$K\,dA=\cos v\,du\,dv$、$\displaystyle\iint_{T^2}K\,dA=0=2\pi\cdot0$

外側の正曲率と内側の負曲率が相殺し、$\chi(T^2)=0$ と一致する

成立条件: 回転トーラスでは $R>r>0$。全曲率0は $K\equiv0$ を意味しない。$R=2,r=0.6$ の数値積分は $3.86\times10^{-15}\approx0$

$\kappa=|r'\times r''|/|r'|^3$、$\tau=\left(r'\times r''\right)\cdot r'''/|r'\times r''|^2$

曲率が接触平面内の曲がりを、捩率が接触平面のねじれを測る

成立条件: $r'\neq0$。捩率とフレネ枠にはさらに $r'\times r''\neq0$ が必要

$I=(E,F,G)\longrightarrow$ 長さ・面積・接続、$II=(L,M,N)\longrightarrow$ 主曲率

1階微分で内在的な物差しを、2階微分と法線で外在的な曲がりを作る

成立条件: $x_u\times x_v\neq0$、同値に $EG-F^2>0$。座標方向が主方向になるには $F=0$ かつ $M=0$ が必要

$(E,F,G)\to\Gamma^k_{ij}\to\nabla\to K\to\displaystyle\iint_MK\,dA=2\pi\chi(M)$

物差しから接続・曲率を作り、閉曲面全体で積分すると位相不変量へ届く

最後の等式には向き付け可能・コンパクト・境界なしの条件が必要。境界付き領域では境界の測地的曲率と外角を加える

$K\equiv0\Rightarrow\displaystyle\iint K\,dA=0$ だが、逆は一般に成り立たない

トーラスは正負の曲率を持ちながら全曲率0になり、平面・円柱との違いを示す

反例: 回転トーラスは外側で $K>0$、内側で $K<0$ だが $\chi=0$ のため全曲率は0