定義・定理・公式まとめ

$r'(t)=(x'(t),y'(t))$、$v=|r'(t)|=\sqrt{x'^2+y'^2}$

パラメータ $t$ を時刻だと思ったときの、瞬間の進む向きと速さ

$T=\dfrac{r'(t)}{v}$

速度ベクトルの大きさを1にしたもの。その点での進行方向だけを表す矢印

成立条件: $v=|r'(t)|\neq0$(速度ゼロの点=特異点では $T$ が定義できない)

$N$ は $T$ を反時計回りに $90°$ 回転したもの

進行方向と直角で、曲線が曲がっていく側を指す矢印

$s=\displaystyle\int\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$

曲線に沿って実際に進んだ距離。速さを時間で積分したもの

$\kappa=\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$(符号付き: $\kappa_{\pm}=\dfrac{x'y''-y'x''}{v^3}$)

その点での「曲がりの強さ」。大きいほど急に曲がる

アンカー値: 円(半径 $a$)は $\kappa=1/a$ で一定。放物線 $y=x^2$ の頂点は $\kappa=2$。楕円 $(a\cos t,b\sin t)$ の長軸先端($t=0$)は $\kappa=a/b^2$

$R=1/\kappa$、中心 $=r+R\,N$(曲がっていく側)

その点にもっとも近くぴったり沿う円。円なら曲率円は円自身に一致する

成立条件: $\kappa\neq0$(変曲点では $R\to\infty$ となり曲率円が定義できない)

$T=\dfrac{r'}{|r'|}$、$B=\dfrac{r'\times r''}{|r'\times r''|}$、$N=B\times T$

空間曲線の各点に取り付いた「進行方向・曲がる方向・ねじれの基準」の3本の直交軸

$\kappa=\dfrac{|r'\times r''|}{|r'|^3}$

接触平面の中でどれだけ急に曲がっているか

$\tau=\dfrac{(r'\times r'')\cdot r'''}{|r'\times r''|^2}$

曲線がその接触平面からどれだけ速くねじれて外れていくか

成立条件: $\kappa\neq0$ が前提。平面曲線は常に $\tau=0$

$\dfrac{dT}{ds}=\kappa N,\quad \dfrac{dN}{ds}=-\kappa T+\tau B,\quad \dfrac{dB}{ds}=-\tau N$

弧長 $s$ で見たとき、フレネ枠がどう回転していくかをまとめた基本方程式

アンカー値: 常螺旋 $r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ は $\kappa=a/(a^2+b^2)$、$\tau=b/(a^2+b^2)$(ともに一定)。$a=b=1$ で $\kappa=\tau=1/2$

$E=x_u\cdot x_u,\quad F=x_u\cdot x_v,\quad G=x_v\cdot x_v$

曲面の接ベクトル $x_u,x_v$ の内積から作る、曲面上の「物差し」の係数

$ds^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$

$(u,v)$ をわずかに動かしたときに空間内で実際にどれだけ進むか

アンカー値: 平面は $E=1,F=0,G=1$。半径Rの球(緯度u・経度v)は $E=R^2,F=0,G=R^2\cos^2u$。半径Rの円柱(高さu・角度v)は $E=1,F=0,G=R^2$

$dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$

第一基本形式だけから曲面の面積を計算できる

成立条件: $EG-F^2>0$(接ベクトルが退化しない点)。アンカー値: 半径Rの球の全表面積は $4\pi R^2$

$n=\dfrac{x_u\times x_v}{|x_u\times x_v|}$、$L=x_{uu}\cdot n,\ M=x_{uv}\cdot n,\ N=x_{vv}\cdot n$

曲面が単位法線方向にどれだけ曲がっているかを2階微分で測る

$\kappa_n=\dfrac{L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2}{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}$、主方向から測ると $\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$

その方向にまっすぐ進んだときの曲がり具合。方向を一周させると $\kappa_1$(最大)〜$\kappa_2$(最小)の間を往復する

$(EG-F^2)\kappa^2-(EN+GL-2FM)\kappa+(LN-M^2)=0$ の解が $\kappa_1,\kappa_2$

第二基本形式を第一基本形式で測ったときの伸び縮み率(固有値)

アンカー値: 半径Rの球は $\kappa_1=\kappa_2=1/R$。半径Rの円柱は $\kappa_1=1/R,\kappa_2=0$。平面は $0,0$。鞍 $z=xy$ の原点は $\kappa_1=1,\kappa_2=-1$(主方向は対角、$F=0$ でも $M\neq0$ のため座標軸は主方向にならない)

$K=\kappa_1\kappa_2=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$、$H=\dfrac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$

$K$=曲がり方の性質(正=お椀型/負=鞍型/0=まっすぐな方向を持つ)、$H$=曲がりの平均

アンカー値: 球 $K=1/R^2$(>0)。円柱・平面 $K=0$。鞍 $z=xy$ の原点 $K=-1$(<0)

$K$ は第一基本形式 $E,F,G$ だけで決まる内在量

曲面を(伸縮せず)曲げても $K$ は変わらない——曲げ方(外在的な形、$H$ を含む)は変わってよい

成立条件: 等長変形(伸縮しない曲げ)に限る。例: 平面を円柱へ曲げても $E,F,G$ は不変なので $K\equiv0$ のまま(球と平面はKが異なるため等長にならない=地図が必ず歪む理由)

$\dfrac{d^2u^k}{dt^2}+\sum_{i,j}\Gamma^k_{ij}\dfrac{du^i}{dt}\dfrac{du^j}{dt}=0$

曲面の中だけで見て「まっすぐ」進む曲線(局所的な最短経路)が満たす方程式。$\Gamma$ は $E,F,G$ とその偏微分だけから決まる

平面: 直線。球面: 大円。円柱: 螺旋・直線・円

$E,F,G$ が一定の曲面(平面・円柱)ではΓ≡0となり(u,v)空間でそのまま直線。球では対称性(赤道・子午線)から大円が導かれる

アンカー: 球面上の測地線は必ず大円(球の中心を通る平面での切り口)になる

平面の極座標 $(r,\theta)$: $\Gamma^2_{12}=1/r,\ \Gamma^1_{22}=-r$(他は0)

曲面自体は曲がっていなくても、座標系(パラメータ)の取り方によってΓは0でなくなる

θ方向の式は $d(r^2\theta')/dt=0$(角運動量保存)と同値——直交座標に戻すと単なる等速直線運動