トポロジー

同相(切らずに連続変形で移り合える関係)の定義を正方形と円の変形で理解し、穴の数が同相の必要条件であって十分条件ではないことをアルファベットの例で確かめる。目安 60分

1. 1-1同相と位相不変量無料
2. 1-2穴の数で仲間分け無料

頂点・辺・面の数からオイラー標数 $\chi=V-E+F$ が細分によらず不変であることを確かめ、$\chi=2-2g$ により連結な向き付け可能閉曲面の分類ができることを理解する。目安 60分

1. 2-1V−E+F を数えるプレミアム
2. 2-2種数と曲面の分類プレミアム

メビウスの帯で法線が1周すると反転する向き付け不可能性を体感し、クラインの壺が境界を持たない向き付け不可能な閉曲面として3次元に自己交差なく埋め込めないことを理解する。目安 60分

1. 3-1メビウスの帯プレミアム
2. 3-2クラインの壺プレミアム

円板上のループがすべて1点に縮む単連結性を確かめ、原点を除いた平面(円周)の基本群が巻き数を通じて $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ であることを理解する。目安 60分

1. 4-1ループとホモトピープレミアム
2. 4-2円周の基本群と巻き数プレミアム

ブラウワーの不動点定理を中間値の定理から1次元で証明し、グラフの一筆書き可能性が奇点(奇数次数の頂点)の個数(0個または2個)で決まることを理解する。目安 60分

1. 5-1ブラウワーの不動点定理プレミアム
2. 5-2一筆書きとグラフの位相プレミアム

開集合と近傍から位相を定義し、連続性を開集合の逆像で捉えたうえで、コンパクト・連結・弧状連結を成立条件と反例を含めて区別する。目安 55分

1. 6-1位相の言葉 — 距離を使わずに近さを話すプレミアム
2. 6-2コンパクトと連結 — まとまり方を見分けるプレミアム

区間・正方形・円板の同一視を商空間として統一し、商位相とセル分解を用いて $\mathbb{RP}^2$ の構成と $\chi\left(\mathbb{RP}^2\right)=1$ を説明する。目安 60分

1. 7-1商空間 — 貼り合わせを1つの操作にするプレミアム
2. 7-2実射影平面 — 商位相とセルを数えるプレミアム

三葉結び目と8の字結び目を3次元で観察し、アンビエント・イソトピー、ライデマイスター移動、Fox三彩色数によって三葉結び目の非自明性を判定する。目安 70分

1. 8-1結び目入門 — 空間の中で輪をほどくプレミアム
2. 8-2三彩色不変量 — 三葉結び目がほどけない証拠プレミアム

第1〜8章の定義・成立条件・不変量を横断し、対象と同値関係に応じた判定手段を選んで計算と反例を説明する。目安 45分

1. 9-1総合演習 — 第1〜8章をつなぐ総合演習プレミアム