トポロジー

「切らずに連続変形で移り合えるか」だけに注目する幾何学。ゴム膜を変形しながら、穴の数・オイラー標数・向き付け・基本群といった位相不変量を掴む。可視化しやすい入口まで。

到達目標: 同相と位相不変量(穴の数・オイラー標数・向き付け・基本群)を可視化で理解し、曲面の分類やブラウワーの不動点定理などの入口に立てるようになる。
初回閲覧の目安: 約5時間(全17レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。

このコースの前提

定義・定理・公式まとめ

体感したレッスンから引ける、知識の地図です。

何度でも新しい数値で練習できます。

第1章　位相と同相

同相(切らずに連続変形で移り合える関係)の定義を正方形と円の変形で理解し、穴の数が同相の必要条件であって十分条件ではないことをアルファベットの例で確かめる。目安 60分

頂点・辺・面の数からオイラー標数 $\chi=V-E+F$ が細分によらず不変であることを確かめ、 $\chi=2-2g$ により連結な向き付け可能閉曲面の分類ができることを理解する。目安 60分

メビウスの帯で法線が1周すると反転する向き付け不可能性を体感し、クラインの壺が境界を持たない向き付け不可能な閉曲面として3次元に自己交差なく埋め込めないことを理解する。目安 60分

円板上のループがすべて1点に縮む単連結性を確かめ、原点を除いた平面(円周)の基本群が巻き数を通じて $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ であることを理解する。目安 60分

ブラウワーの不動点定理を中間値の定理から1次元で証明し、グラフの一筆書き可能性が奇点(奇数次数の頂点)の個数(0個または2個)で決まることを理解する。目安 60分

開集合と近傍から位相を定義し、連続性を開集合の逆像で捉えたうえで、コンパクト・連結・弧状連結を成立条件と反例を含めて区別する。目安 55分

区間・正方形・円板の同一視を商空間として統一し、商位相とセル分解を用いて $\mathbb{RP}^2$ の構成と $\chi\left(\mathbb{RP}^2\right)=1$ を説明する。目安 60分

三葉結び目と8の字結び目を3次元で観察し、アンビエント・イソトピー、ライデマイスター移動、Fox三彩色数によって三葉結び目の非自明性を判定する。目安 70分

第1〜8章の定義・成立条件・不変量を横断し、対象と同値関係に応じた判定手段を選んで計算と反例を説明する。目安 45分