定義・定理・公式まとめ

$f: X \to Y$ が全単射で、$f$ も $f^{-1}$ も連続

切ったり貼ったりせず、伸ばす・曲げる連続変形だけで一方をもう一方に重ねられる関係

全単射性が「切る・貼るなし」、$f,f^{-1}$ 双方の連続性が「引き裂かない」に対応する

同相 $\Rightarrow$ 種数 $g$ は不変

連続変形では穴は増えも減りもしない。コーヒーカップとドーナツ(ともに $g=1$)は同相

球面($g=0$)とトーラス($g=1$)は種数が異なるため同相ではない

長さ・角度・面積は同相で保たれない

正方形と円は同相だが、面積も角の数も一般に異なる

「穴の数」「連結成分の数」「つながり方」との混同に注意

穴0個: I,L,C / 穴1個: O,D,A / 穴2個: B

輪が閉じているかどうかで判定する。C は輪が開いているので穴なし

穴の数は同相の必要条件。同じでも同相とは限らない(例: A と O は穴1つずつだが、A の分岐点のため非同相)

$\chi = V - E + F$(頂点・辺・面の数)

立方体($8-12+6=2$)・正四面体($4-6+4=2$)・正八面体($6-12+8=2$)はすべて $\chi=2$

球面に同相な閉曲面(凸多面体を含む)は常に $\chi=2$。この関係が成り立つのは球面に同相な曲面の場合

辺分割: $\Delta\chi=+1-1+0=0$ / 面の三角形分割($k$角形): $\Delta\chi=+1-k+(k-1)=0$

頂点を足して面を細かく刻んでも(切ったり貼ったりしない限り)χは変わらない

細分は位相不変量χを変えない操作。χが変わるのは切る・貼るなど位相そのものを変える操作だけ

$\chi = 2 - 2g$($g$は種数=穴の数)

球面$g=0\to\chi=2$、トーラス$g=1\to\chi=0$、2人乗り浮き輪$g=2\to\chi=-2$

この式は「向き付け可能な閉曲面」で成り立つ。向き付け可能な閉曲面どうしではχ(種数)が一致することと同相であることは同値

境界成分数 $=1$、χ $=0$

帯を1周すると法線(表と裏)が反転する。縁(境界)は1周では出発点に戻らず2周して閉じる=1本の輪

円柱(ひねりなし)は向き付け可能で境界2本。奇数回(180°の奇数倍)のひねりでのみ向き付け不可能になる

同じ向きに貼る=ねじれなし、逆向きに貼る=ねじれ(向き付け不可能)

円柱=左右同じ向き・上下自由境界 / メビウス=左右逆向き・上下自由境界 / トーラス=左右上下とも同じ向き / クライン=左右同じ向き・上下逆向き

境界の有無は「自由な辺が残るか」、向き付け可能性は「逆向きの同一視が含まれるか」で決まる

境界なしの向き付け不可能な閉曲面

メビウスの帯(境界あり)は3次元にそのまま置けるが、クラインの壺(境界なし)は3次元では自己交差する(4次元になら自己交差なく埋め込める)

自己交差を許して描いたもの(よく見るイラスト)は「浸め込み」であって埋め込みではない

基点を固定したループを、ホモトピック(連続変形で移り合う)なものは同一視して集めた群

演算=ループの連結、単位元=基点にとどまるループ、逆元=逆向きにたどるループ

群の公理の厳密な証明はここでは扱わず、演算・単位元・逆元の直感までにとどめる

$\pi_1(\text{円板}) = 0$

円板は凸なので、基点への直線ホモトピーでどんなループも1点に縮められる(単連結)

凸性(へこみがない)が本質。円周そのもの(1次元的な輪)は単連結ではない

$\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}, \quad \pi_1(\text{平面}\setminus\{0\}) \cong \mathbb{Z}$

原点の周りをループが何回まわるか(巻き数)。ループの連結=巻き数の足し算に対応する

穴を囲んでいないループの巻き数は、形や周回数によらず常に0

$f:[0,1]\to[0,1]$ が連続 $\implies \exists x,\ f(x)=x$

$g(x)=f(x)-x$ とおくと $g(0)\geq0,\ g(1)\leq0$。中間値の定理より $g(x)=0$ となる不動点が存在する

2次元版(円板 $D^2$)も同じ主張が成り立つが、証明には基本群やホモロジーなど高度な道具が要る(本教材では扱わない)

奇点(次数が奇数の頂点)が $0$ 個→閉じた一筆書き、$2$ 個→開いた一筆書き、それ以外→不可能

ケーニヒスベルクの橋(奇点4個: 次数5,3,3,3)は一筆書き不可能

条件はグラフが連結であることが前提。各辺は両端の次数を1ずつ増やすので奇点は必ず偶数個になる