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位相と同相 — 切らずに伸ばして重ねる

長さも角度も面積も違う2つの図形を、それでも「同じ形」と呼んでよい場合があります。 トポロジー(位相幾何学)は、切ったり貼ったりせず、伸ばす・曲げる連続変形で移り合えるかだけに注目する幾何学です。 この見方では、正方形も円も「同じ形」——ゴム膜を思い浮かべてください。破らず伸ばせば、正方形はいくらでも円に近づけられます。

触ってみる — 正方形は円になれる

下のスライダーを動かして、正方形が円へ連続に変形していく様子を見てください。角がだんだん丸まっていくだけで、 どの瞬間にも「切る」「貼る」は起きていません。

$t=0$ のとき正方形、$t=1$ のとき円、その間はずっと1つのなめらかな閉じた図形です。 この「切らずに連続に変形できる」という関係を**同相(homeomorphism)**と呼びます。

同相の定義 — 連続な全単射で、逆も連続

正式には、2つの図形(位相空間)$X, Y$ が同相であるとは、

$$f: X \to Y$$

という全単射(1対1対応で、もれも重なりもない対応)が存在して、$f$ も逆写像 $f^{-1}$ も連続であることをいいます。

• $f$ が全単射 → 点をくっつけたり(貼る)、点を分裂させたり(切る)しない
• $f$ が連続 → 近くにある点は移した先でも近くにある(引き裂かない)
• $f^{-1}$ も連続 → 逆方向にも同じことが言える(戻すときも引き裂かない)

これが「ゴム膜の幾何学」の正体です。曲げる・伸ばす・縮めるはOK、切る・貼るはNG——この境界さえ覚えれば、 同相かどうかの直感はほぼ掴めます。

位相不変量 — 連続変形しても変わらないもの

同相な図形どうしで変わらない性質を位相不変量と呼びます。この章で押さえるのは1つだけです。

$$\text{穴の数(種数 } g\text{)}$$

正方形も円も穴は0個。連続変形では穴は増えも減りもしません(穴を作るには「切る」か「破る」が要ります)。 一方で、長さ・角度・面積は同相では変わってよい性質です——正方形を円に変形する過程で、 辺の長さも角も面積も刻々と変わっていましたが、それでも同相であることに変わりはありません。

コーヒーカップとドーナツ

位相幾何学でよく引かれる例が「コーヒーカップとドーナツ(トーラス)は同相」というものです。 取っ手の穴とドーナツの穴——どちらも穴は1つ(種数 $g=1$)。カップの本体をゆっくり潰してドーナツの輪に押し込めば、 切らずに変形できます。

逆に、球面(種数 $g=0$)とトーラス(種数 $g=1$)は同相ではありません。穴の数という位相不変量が $0$ と $1$ で異なるからです。球をどれだけ伸ばし縮めしても、切らずに穴を開けることはできません。

試してみよう

• マグカップ(取っ手つき、穴1つ)と、取っ手のないコップ(穴0個)は同相でしょうか?(→ 種数が違うので同相ではない)
• プレッツェル(穴が2つ)とドーナツ(穴が1つ)は同相でしょうか?(→ 種数が $2 \neq 1$ なので同相ではない)

理解チェック

「連続変形」なら、図形を破ってつなぎ直してもよい?

いいえ。破る(切る)・貼り合わせる操作は同相の対応にはなりません。定義に戻ると、切る操作は 「全単射だが逆写像が連続でない」(切り口の両側が、逆写像では同じ点に潰れて見える)ことに対応します。 伸ばす・曲げるだけがOKです。

穴の数さえ同じなら、どんな図形も同相と言い切ってよい?

この章で扱うのは「穴の数で仲間分けできる」という直感止まりです。実際には、球面やトーラスのような 閉じた曲面については種数が同相類を完全に決めますが、より複雑な空間では種数だけでは決まらない場合もあります。 ここでは平面図形やアルファベットのような単純な形を、穴の数という目印で分類する練習をします。

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: 瀬山士郎『トポロジー: 柔らかい幾何学』(日本評論社) / Armstrong『Basic Topology』(Springer)

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