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ベクトル解析

場の数学。矢印場の湧き出し(div)と渦(curl)を色で見分け、閉曲面を膨らませて「内部の発散の総和=表面を貫く流束」を確かめる。電磁気・流体の言語を3Dで。

到達目標
スカラー場・ベクトル場・grad/div/curl・発散定理・ストークスの定理を可視化で理解し、保存場とポテンシャルの判定、電磁気・流体への応用まで自力で計算できるようになる。
初回閲覧の目安
約7時間(全19レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。

このコースの前提

  • 微積分(大学)の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。

    多変数の微積を、勾配・発散・回転というベクトル場の言葉へ広げる。

  • 線形代数の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。

    ヤコビ行列・線形近似が、多変数微積の骨格になる。

第1章から始める →プレミアムに加入(¥1,480/月)

定義・定理・公式まとめ

体感したレッスンから引ける、知識の地図です。

計算演習

何度でも新しい数値で練習できます。

第1章　スカラー場とベクトル場

スカラー場を等高線、ベクトル場を流線で読み、場という概念(場所を入れると値/矢印が返る関数)を掴む。目安 70分

  1. 場とは — スカラー場とベクトル場無料
  2. 場を読む — 等高線と流線無料

第2章　勾配と方向微分

勾配 ∇f\nabla f が最急上昇方向を向き等高線と直交することを確かめ、方向微分 Du⃗f=∇f⋅u⃗D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u で任意方向の傾きを計算できるようになる。目安 70分

  1. 勾配 grad と最急方向無料
  2. 方向微分を使う無料

第3章　発散と発散定理

発散 div F⃗\mathrm{div}\,\vec F が湧き出しの密度を表すことを可視化で確かめ、発散定理により表面の流束と内部のdivの体積積分が一致することを理解する。目安 70分

  1. 発散 div — 湧き出しの密度プレミアム
  2. 発散定理 — 流束と体積積分プレミアム

第4章　回転とストークスの定理

回転 curl F⃗\mathrm{curl}\,\vec F が渦の強さを表すことをパドルの回転で確かめ、ストークスの定理で境界の周回積分と内部のcurlの面積分が一致することを理解する。目安 70分

  1. 回転 curl — 渦の強さプレミアム
  2. ストークスの定理を使うプレミアム

第5章　保存場とポテンシャル

保存場 F⃗=∇φ\vec F=\nabla\varphi で線積分が経路によらないことを確かめ、curl F⃗=0\mathrm{curl}\,\vec F=0 が単連結領域でのみ保存場を保証すること(角度場の反例)を理解する。目安 70分

  1. 保存場とポテンシャルプレミアム
  2. 経路によらない積分プレミアム

第6章　電磁気・流体への応用

クーロン場でガウスの法則(発散が原点に特異的に集中する構造)を確かめ、非圧縮流の連続の方程式 div v⃗=0\mathrm{div}\,\vec v=0 を通じて場の道具を実世界の応用に結びつける。目安 70分

  1. 電磁気の場を読むプレミアム
  2. 流体の流れを読むプレミアム

第7章　線積分・面積分の計算技法

曲線・曲面を正則にパラメータ表示し、dsds と dr⃗d\vec r、dSdS と dS⃗d\vec S を区別して線積分・面積分・流束を向きと成立条件つきで計算できるようになる。目安 70分

  1. 線積分のパラメータ付け — ds と dr を区別するプレミアム
  2. 面のパラメータ付け — 接ベクトルから法線と面積を作るプレミアム

第8章　曲線座標の微分演算子 — 円柱と球

円柱座標・球座標の座標曲線とスケール因子を理解し、対称性に合わせて grad・div・curl・ラプラシアンの公式を使い分けられるようになる。目安 70分

  1. 円柱座標・球座標 — 座標曲線とスケール因子を触るプレミアム
  2. 曲線座標の微分演算子 — 対称性に合わせて公式を使うプレミアム

第9章　ポテンシャル論とマクスウェル方程式

スカラー・ベクトルポテンシャルと遠方減衰条件つきのヘルムホルツ分解を理解し、SI単位系のマクスウェル方程式4本を div・curl・積分定理の言葉で読み解けるようになる。目安 70分

  1. ポテンシャルとヘルムホルツ分解 — 場を勾配と回転に分けるプレミアム
  2. マクスウェル方程式 — div と curl で電磁場を読むプレミアム

第10章　総合演習

第1〜9章の局所微分・境界積分・パラメータ表示・曲線座標・ポテンシャル論を横断し、適用条件と向きを明記して総合問題を解けるようになる。目安 70分

  1. 総合演習 — 第1〜9章をつなぐプレミアム