ベクトル解析

スカラー場を等高線、ベクトル場を流線で読み、場という概念(場所を入れると値/矢印が返る関数)を掴む。目安 70分

1. 1-1場とは — スカラー場とベクトル場無料
2. 1-2場を読む — 等高線と流線無料

勾配 $\nabla f$ が最急上昇方向を向き等高線と直交することを確かめ、方向微分 $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$ で任意方向の傾きを計算できるようになる。目安 70分

1. 2-1勾配 grad と最急方向無料
2. 2-2方向微分を使う無料

発散 $\mathrm{div}\,\vec F$ が湧き出しの密度を表すことを可視化で確かめ、発散定理により表面の流束と内部のdivの体積積分が一致することを理解する。目安 70分

1. 3-1発散 div — 湧き出しの密度プレミアム
2. 3-2発散定理 — 流束と体積積分プレミアム

回転 $\mathrm{curl}\,\vec F$ が渦の強さを表すことをパドルの回転で確かめ、ストークスの定理で境界の周回積分と内部のcurlの面積分が一致することを理解する。目安 70分

1. 4-1回転 curl — 渦の強さプレミアム
2. 4-2ストークスの定理を使うプレミアム

保存場 $\vec F=\nabla\varphi$ で線積分が経路によらないことを確かめ、$\mathrm{curl}\,\vec F=0$ が単連結領域でのみ保存場を保証すること(角度場の反例)を理解する。目安 70分

1. 5-1保存場とポテンシャルプレミアム
2. 5-2経路によらない積分プレミアム

クーロン場でガウスの法則(発散が原点に特異的に集中する構造)を確かめ、非圧縮流の連続の方程式 $\mathrm{div}\,\vec v=0$ を通じて場の道具を実世界の応用に結びつける。目安 70分

1. 6-1電磁気の場を読むプレミアム
2. 6-2流体の流れを読むプレミアム

曲線・曲面を正則にパラメータ表示し、$ds$ と $d\vec r$、$dS$ と $d\vec S$ を区別して線積分・面積分・流束を向きと成立条件つきで計算できるようになる。目安 70分

1. 7-1線積分のパラメータ付け — ds と dr を区別するプレミアム
2. 7-2面のパラメータ付け — 接ベクトルから法線と面積を作るプレミアム

円柱座標・球座標の座標曲線とスケール因子を理解し、対称性に合わせて grad・div・curl・ラプラシアンの公式を使い分けられるようになる。目安 70分

1. 8-1円柱座標・球座標 — 座標曲線とスケール因子を触るプレミアム
2. 8-2曲線座標の微分演算子 — 対称性に合わせて公式を使うプレミアム

スカラー・ベクトルポテンシャルと遠方減衰条件つきのヘルムホルツ分解を理解し、SI単位系のマクスウェル方程式4本を div・curl・積分定理の言葉で読み解けるようになる。目安 70分

1. 9-1ポテンシャルとヘルムホルツ分解 — 場を勾配と回転に分けるプレミアム
2. 9-2マクスウェル方程式 — div と curl で電磁場を読むプレミアム

第1〜9章の局所微分・境界積分・パラメータ表示・曲線座標・ポテンシャル論を横断し、適用条件と向きを明記して総合問題を解けるようになる。目安 70分

1. 10-1総合演習 — 第1〜9章をつなぐプレミアム