方向微分を使う

前レッスンで「勾配は最急上昇の向き」と言いましたが、任意の向きへの傾きも 勾配さえ知っていれば計算できます。それが方向微分です。

$$D_{\vec u} f = \nabla f \cdot \vec u \qquad (\vec u\ \text{は単位ベクトル})$$

この等式には条件があります。その点で $f$ が(全)微分可能であることです。偏微分 $\partial f/\partial x,\ \partial f/\partial y$ がどちらも存在するだけでは不十分で、 方向によってこの式からずれてしまう(全微分可能でない)反例が存在します。

触ってみる — 向きを回すと傾きも変わる

固定した点 $P$ での勾配(赤)と、角度 $\theta$ で回せる方向ベクトル $\vec u$(緑)を表示しています。 右のグラフは $\theta$ を $0$〜$2\pi$ まで走査したときの $D_{\vec u}f$ の値です。

赤=$\nabla f$、緑=方向 $u$(単位ベクトル)

$D_u f$ を $\theta$ で走査(緑=現在値)

θ(度)30°

$\theta$ スライダーを動かして、グラフの緑の点(現在値)がコサインカーブの上をどう動くか見てください。

• $\theta$ が勾配の向きと一致 → $D_{\vec u}f = |\nabla f|$(最大、最急上昇)
• $\theta$ が勾配と直角(等高線方向) → $D_{\vec u}f = 0$(前レッスンの直交性と同じ)
• $\theta$ が勾配と逆向き → $D_{\vec u}f = -|\nabla f|$(最急降下)

数式で見る

$\vec u=(\cos\theta,\sin\theta)$ とすると、内積の定義から

$$D_{\vec u}f = \nabla f\cdot\vec u = |\nabla f|\,|\vec u|\cos\phi = |\nabla f|\cos\phi$$

($\phi$ は $\nabla f$ と $\vec u$ の間の角度)。これは線形代数コースの内積(射影)の応用そのもので、 グラフがコサインカーブになるのはこの式が理由です。

どこで効くのか

• 登山: 進む向きを変えたときの体感の傾きは、まさに方向微分
• 機械学習: ある1つのパラメータだけを動かす偏微分は、$\vec u$ を座標軸方向に選んだ方向微分の特別な場合
• 等高線に沿う向き: $D_{\vec u}f=0$ になる $\vec u$ は等高線の接線方向(前レッスンの直交性の言い換え)

試してみよう

• $\theta$ を $90°$ ずつ動かすと $D_{\vec u}f$ の符号はどう変わる?
• グラフの山(最大)の位置は、キャプションの $|\nabla f|$ の値と一致するか確認しよう

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 2

方向微分 $D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$ が最大になるのはどんな $\vec u$ のときですか?($\nabla f\neq\vec 0$ とします)

$\vec u$ が $\nabla f$ と同じ向きの単位ベクトルのとき常に一定で $\vec u$ によらない$\vec u$ の大きさが最大のとき$\vec u$ が $\nabla f$ と直角のとき

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確認 2 / 2

$\nabla f=(3,4)$ の点で、$\vec u=(1,0)$ 方向の方向微分 $D_{\vec u}f$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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