勾配 grad と最急方向

スカラー場の「地形」を最も急に登る方向を教えてくれる道具が勾配(gradient)です。

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

各偏微分を並べただけのベクトルですが、驚くべき性質を2つ持っています。それは 大きさが最急上昇の傾きであることと、向きが等高線と直角であること($\nabla f\neq\vec 0$ で等高線がなめらかに 描ける点に限った話です)の2つです。この章では後者を確かめます。

触ってみる — 勾配は等高線と直角に交わる

橙の点をドラッグすると、通っている等高線(青)とその点での勾配ベクトル(赤)が同時に描かれます。 赤と青がいつも直角になっていることを確かめてください($\nabla f=\vec 0$ になる臨界点だけは 例外で、勾配の向きが定義できません)。

橙の点の座標

$x$$y$

a1.0b0.5

橙の点は(1.60, 1.00)。この点でのスカラー場の値は3.06、勾配ベクトルは(3.20, 1.00)です。勾配と等高線の接線の正規化内積は-0.0000で、0に近いほど両者が直角に交わっていることを表します。

下のキャプションの「正規化内積」は、赤(勾配)と青(等高線の接線)の向きだけを比べた値です。 0に近ければ直角です。等高線は勾配とは別の式(媒介変数表示)で描いているので、この一致は偶然ではありません。

種明かし — なぜ直角になるのか

等高線の上を動くとき、$f$ の値は変化しません($f=c$ で一定だから)。合成関数の微分より

$$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \nabla f \cdot (x'(t), y'(t)) = 0$$

等高線の接線ベクトル $(x'(t),y'(t))$ との内積がつねに 0 になります。つまり$\nabla f\neq\vec 0$ の点では 勾配は等高線と直交するということです($\nabla f=\vec 0$ の臨界点では等高線の接線自体が定義できず、 勾配の向きも決まりません)。 「値が変わらない方向」と「値が最も変わる方向」が直角に分かれているのは、 1変数の関数に「変化なし(極値)」と「最大の傾き」という区別が無いこととは対照的な、 多変数ならではの構造です。

どこで効くのか

• 地図読み: 標高の等高線に直角な向きが、実際にその場所で一番きつい坂の向きです
• 機械学習: 勾配降下法は $-\nabla L$(損失を最も減らす向き)へパラメータを動かす操作そのもの
• 物理: 保存力 $\vec F=-\nabla U$(ポテンシャルエネルギー $U$ が急に下る方向へ力が働く)

試してみよう

• $a=b$(等高線が円)にすると、勾配は常に円の中心から外向きの放射方向になる
• 点を原点に近づけていくと勾配ベクトルの長さはどうなる?(0に近づいていきます。谷底では 傾きが無くなるためです。ただし原点ちょうどでは等高線が1点に退化し勾配の向きは未定義になるので、 ぴったり重ねるのは避けてください)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(x,y)=x^2+3y^2$ の点 $(2,1)$ での勾配 $\nabla f=(2x, 6y)$ の $x$ 成分はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

勾配ベクトル $\nabla f$ の向きは、その点を通る等高線に対してどうなっていますか?($\nabla f\neq\vec 0$ の点で考えます)

45度で交わる常に平行場によってバラバラで規則はない常に直角(直交)

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確認 3 / 3

勾配ベクトル $\nabla f$ が指す向きは何を意味しますか?

原点へ向かう向きf が最も急に増加する向きf が最も急に減少する向きf が変化しない向き

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