勾配 grad と最急方向

スカラー場の"地形"を最も急に登る方向を教えてくれる道具が勾配(gradient)です。

\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)

各偏微分を並べただけのベクトルですが、驚くべき性質を2つ持っています—— 大きさが最急上昇の傾き、向きが等高線と直角。この章では後者を確かめます。

触ってみる — 勾配は等高線と直角に交わる

橙の点をドラッグすると、通っている等高線(青)とその点での勾配ベクトル(赤)が同時に描かれます。赤と青がいつも直角になっていることを確かめてください。

a1.0b0.5

赤=

\nabla f=(3.20, 1.00)

、青=等高線。正規化内積

\approx -0.0000

(0に近いほど直交)

下のキャプションの「正規化内積」は、赤(勾配)と青(等高線の接線)の向きだけを比べた値です。 0に近ければ直角——等高線は勾配とは別の式(媒介変数表示)で描いているので、この一致は偶然ではありません。

種明かし — なぜ直角になるのか

等高線の上を動くとき、 $f$ の値は変化しません( $f=c$ で一定だから)。合成関数の微分より

\frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \nabla f \cdot (x'(t), y'(t)) = 0

等高線の接線ベクトル $(x'(t),y'(t))$ との内積がつねに 0——つまり勾配は等高線と直交する。「値が変わらない方向」と「値が最も変わる方向」が直角に分かれているのは、 1変数の関数に「変化なし(極値)」と「最大の傾き」という区別が無いこととは対照的な、多変数ならではの構造です。

どこで効くのか

地図読み: 標高の等高線に直角な向きが、実際にその場所で一番きつい坂の向きです
機械学習: 勾配降下法は $-\nabla L$ (損失を最も減らす向き)へパラメータを動かす操作そのもの
物理: 保存力 $\vec F=-\nabla U$ (ポテンシャルエネルギー $U$ が急に下る方向へ力が働く)

試してみよう

$a=b$ (等高線が円)にすると、勾配は常に円の中心から外向きの放射方向になる
点を原点に近づけると勾配ベクトルの長さはどうなる?(0に近づく——谷底では傾きが無い)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$f(x,y)=x^2+3y^2$ の点 $(2,1)$ での勾配 $\nabla f=(2x, 6y)$ の $x$ 成分はいくつですか?

答え

確認 2 / 3

勾配ベクトル $\nabla f$ の向きは、その点を通る等高線に対してどうなっていますか?

確認 3 / 3

勾配ベクトル $\nabla f$ が指す向きは何を意味しますか?

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Schey『Div, Grad, Curl, and All That』(Norton) / Marsden & Tromba『Vector Calculus』(W.H. Freeman) / 志賀浩二『ベクトル解析30講』(朝倉書店)

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