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場を読む — 等高線と流線

前レッスンのスカラー場に対して、この章の後半からはベクトル場を主役にします。 ベクトル場を読む道具は等高線の代わりに流線——場の矢印に沿って動いたときの軌跡です。

触ってみる — 矢印に乗って流れる

青い矢印がベクトル場 $\vec F=(ax-by,\ bx+ay)$ です。緑の点(出発点)をドラッグすると、 そこから矢印の向きに沿って流れた跡(流線、緑の曲線)が伸びます。

a(湧き出し)0.0b(渦)1.0

• $a=0,\ b\neq0$: 矢印は原点の周りをぐるぐる回る——渦
• $b=0,\ a\neq0$: 矢印は原点から放射状に出入りする——湧き出し/吸い込み
• 両方混ぜると、渦を巻きながら広がる/収束するらせん状の流線になる

数式で見る

流線は「各点でその点の矢印の方向に進む」曲線です。パラメータ $t$ を使うと

$$\frac{dx}{dt} = F_1(x,y), \qquad \frac{dy}{dt} = F_2(x,y)$$

という連立の微分方程式になります(微分方程式コースの相平面と同じ発想です)。 これを数値的に(ルンゲ=クッタ法で)積分すると、上の図の緑の曲線が得られます。

どこで効くのか

• 気象: 天気図の風の流線、台風の渦
• 流体力学: 川の流れ・翼まわりの空気の流れ
• 次章の予告: この矢印を作り出す"源"がスカラー場の勾配だったら?——それが次章の主題です

試してみよう

• $a,b$ をどちらも0にすると流線はどうなる?(その場に留まる——矢印が無いので動かない)
• $a<0$(吸い込み)にすると、出発点をどこに置いても流線はどこへ向かう?(原点へ吸い込まれる)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 2

ベクトル場の「流線」とは何ですか?

スカラー場の等高線と同じもの各点でその点の矢印の向きに進んでできる軌跡場の大きさが一定になる点の集合矢印の始点だけを結んだ線

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 2

$\vec F=(-2y, 2x)$ のような場(原点周りをぐるぐる回る)は、次のどちらの性質を持ちますか?

渦(回転)成分が強い湧き出し(発散)成分が強いスカラー場であるどちらの性質も持たない

ヒントを見る答えと解説を見る

📖

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第1章 スカラー場とベクトル場 のまとめページへ

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Schey『Div, Grad, Curl, and All That』(Norton) / Marsden & Tromba『Vector Calculus』(W.H. Freeman) / 志賀浩二『ベクトル解析30講』(朝倉書店)

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