場とは — スカラー場とベクトル場

これまでの関数は「1つの数を入れると1つの数が返る」ものでした。この章の主役は 場所を入れると値が返る関数。場です。場には2種類あります。

• スカラー場: 場所を入れると数が返る。気温分布・標高・気圧など
• ベクトル場: 場所を入れると矢印が返る。風速・水流・電場・磁場など

このコースでは、この2つの場を「触って」grad・div・curl という3つの微分演算を体で理解し、 発散定理・ストークスの定理という「境界と内部の対応」にたどり着きます。

触ってみる — 標高図を読む

天気図の等圧線や地形図の等高線と同じ発想です。スカラー場 $f(x,y)=ax^2+by^2$ を 「谷」だと思ってください。同じ高さの点をつないだ線が等高線です。

橙の点をドラッグすると、いま立っている等高線の「高さ」(f の値)が下に表示されます。 $a,b$ スライダーで谷の形(円⇄楕円)も変えられます。

橙の点の座標

$x$$y$

a1.0b0.5

橙の点は(1.60, 1.20)。この点でのスカラー場の値はf=3.28で、これがいま立っている等高線の高さです。

• 一般に、等高線が密なところは傾きが急(標高が速く変わる)、疎なところは傾きが緩やかです
• ただしこの図の等高線の水準 $0.4,\ 0.9,\ 1.6,\ 2.5,\ 3.6$ は非等間隔なので、見た目の密度だけを 比べても傾きの急さは読み取れません。比較するときは、まず各線の値そのものを確認してください
• $a=b$ のとき等高線は円、$a\neq b$ のとき楕円になる。次章の「勾配」で、この形の違いが効いてきます

数式で見る

$$f(x,y) = a x^2 + b y^2$$

は2変数関数の中でもとくに素直な例です。等高線 $f(x,y)=c$ は $a,b,c>0$ のとき必ず 閉じた楕円になります(円は $a=b$ の特別な場合)。この「必ず閉じる」性質のおかげで、 次章以降の可視化(等高線・発散定理の閉曲面など)が全部きれいに描けます。

どこで効くのか

• 気象: 気温場・気圧場はスカラー場。等圧線が密な場所ほど風が強い(気圧傾度力)
• 機械学習: 損失関数 $L(\theta)$ もスカラー場。パラメータ空間の「地形」を歩くのが勾配降下法です
• 次章の予告: この地形を「一番急な方向へ」歩く道具が勾配(grad)です

試してみよう

• $a$ を大きくすると等高線はどう変わる?($x$ 方向に潰れて楕円が縦長になる)
• 点を原点に近づけると、通る等高線の「高さ」は?(0に近づく。谷底です)

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

スカラー場とベクトル場の違いとして正しいものは?

ベクトル場は必ず円形の等高線を持つスカラー場だけが2変数関数である違いはない(同じもの)スカラー場は数を返し、ベクトル場は矢印(向きと大きさ)を返す

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確認 2 / 3

$f(x,y)=2x^2+3y^2$ について、点 $(1,1)$ での値 $f(1,1)$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

等高線が密集している場所で言えることは?

その場所ではベクトル場しか定義できないスカラー場の値が0である何も言えない場所によるスカラー場の値の変化が急である

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