定義・定理・公式まとめ

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$(場所を入れると数が返る)

気温分布・標高のように、場所ごとに1つの数値が決まっている量

$\vec F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$(場所を入れると矢印が返る)

風速・流速のように、場所ごとに向きと大きさが決まっている量

$f(x,y)=c$(定数 $c$)

スカラー場の「同じ高さ」の点を結んだ曲線。地形図の等高線そのもの

$f=ax^2+by^2$($a,b>0$)なら等高線は必ず閉じた楕円になる

$\dfrac{dx}{dt}=F_1(x,y),\ \dfrac{dy}{dt}=F_2(x,y)$

各点でその場所の矢印の向きに進んでできる軌跡

定常な場では流線=流跡線(パーティクルの軌跡)。非定常な場では両者は一般に異なる

$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

その点で最も急に値が増える向きと、その傾きの大きさを持つベクトル

$\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\nabla f\cdot(x',y')=0$(等高線上)

等高線上では値が変わらないので、勾配は等高線の接線と必ず直角に交わる

成立条件: $f$ が $C^1$(連続微分可能)であること。等高線が特異点(勾配=0)を持つ点では向きが定義できない

$D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$($\vec u$ は単位ベクトル)

任意の向きへ進んだときの、その場所での変化率

$\max_{\vec u} D_{\vec u}f=|\nabla f|$($\vec u=\nabla f/|\nabla f|$ のとき)

勾配の向きが登りの最大傾斜、逆向きが下りの最大傾斜(勾配降下法の由来)

$\mathrm{div}\,\vec F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}$

その点を中心にした微小領域からの、正味の湧き出しの密度

$\mathrm{div}\,\vec F>0$: 湧き出し、$<0$: 吸い込み、$=0$: 収支ゼロ

正なら周囲へ流れ出す源、負なら周囲から吸い込む穴

$\displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot\hat n\,ds=\iint_D \mathrm{div}\,\vec F\,dA$

領域の縁を貫く流束は、内部の発散をすべて足し合わせたものに等しい

成立条件: 境界 $\partial D$ が区分的に滑らかで、$\vec F$ が $D$ 上で $C^1$。特異点(点電荷など)があると素朴には適用できない

$\displaystyle\oiint_{\partial V}\vec F\cdot\hat n\,dA=\iiint_V \mathrm{div}\,\vec F\,dV$

閉曲面を貫く流束は、内部の発散の体積積分に等しい(2次元版の立体への一般化)

同じく境界の滑らかさと $\vec F\in C^1(V)$ が前提。非圧縮流($\mathrm{div}\,\vec v=0$)の質量保存則の根拠

$\mathrm{curl}\,\vec F=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}$

その点での局所的な渦の強さ(パドルホイールの角速度に相当)

$\mathrm{curl}\,\vec F=\left(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\ \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right)$

回転軸の向きと回転の強さをまとめて表すベクトル。2次元のcurlはこのz成分

2次元の場を $z=0$ 平面に埋め込むと、x,y成分は自動的に0になり2次元curlと一致する

$\displaystyle\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\mathrm{curl}\,\vec F)\cdot\hat n\,dA$

曲面の縁を一周する周回積分は、内部のcurlの面積分に等しい

成立条件: 曲面 $S$ が区分的に滑らかな向き付け可能曲面で $\vec F\in C^1$。境界の向きと法線 $\hat n$ は右手系で対応(2次元では反時計回りが正)

$\displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r=\iint_D \mathrm{curl}\,\vec F\,dA$

平面領域では、ストークスの定理は面の法線を常にz軸方向に取ったこの形に帰着する

$\vec F=\nabla\varphi$

ある「高さの地図」$\varphi$ の勾配として書ける場

$\displaystyle\int_C\nabla\varphi\cdot d\vec r=\varphi(\text{終点})-\varphi(\text{始点})$

保存場では、線積分は経路の形によらず両端の値だけで決まる

1変数の $\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$ の一般化。$\varphi$ が $C^1$ であることが前提

単連結領域で: $\mathrm{curl}\,\vec F=0 \iff \vec F$ は保存場

渦の強さが至るところ0なら、道によらない=ポテンシャルが存在する

領域が単連結(穴が無い)でなければこの同値は崩れる。角度場 $(-y,x)/(x^2+y^2)$ は原点以外で curl=0 だが、原点を囲む閉路の循環は $2\pi\neq0$(単連結でない反例)

$\displaystyle\oint\vec F\cdot d\vec r=2\pi\times(\text{原点を囲む回数})$

curl=0でも、囲んだ特異点の個数(回数)だけ循環が生じる

複素解析の留数定理($\oint f(z)dz=2\pi i\sum\text{留数}$)の実2次元版に相当する構造

$\mathrm{div}\,\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$

電場の発散は、その点の電荷密度に比例する

$\displaystyle\oiint_{|\vec r|=R}\vec E\cdot\hat n\,dA=4\pi k$(全電荷 $k$、$R$ によらず一定)

電場は $1/r^2$ で弱まるが球の表面積は $r^2$ で増えるため、流束は打ち消し合って一定になる

点電荷は原点に特異点を持つため、通常の発散定理の素朴な形は原点で破れる(発散が特異点に集中=デルタ関数)

$\mathrm{div}\,\vec B=0$(常に)

磁場には孤立した湧き出し(単磁極)が存在しない。磁力線は必ず閉じる

電場のガウスの法則と対照的——マクスウェル方程式の1本目

$\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\vec v)=0$

密度一定(非圧縮)の流れでは $\mathrm{div}\,\vec v=0$ に帰着し、閉曲面を通る正味の流束が常に0になる

$\mathrm{div}\,\vec v=0$ かつ $\mathrm{curl}\,\vec v=0$

湧き出しも渦も無い理想化された流れ。速度は何らかのポテンシャル $\varphi$ の勾配として書ける

curl=0(単連結領域で)から保存場・ポテンシャルの存在が従う——第5章の結論の流体力学での応用