定義・定理・公式まとめ

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$(場所を入れると数が返る)

気温分布・標高のように、場所ごとに1つの数値が決まっている量

$\vec F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$(場所を入れると矢印が返る)

風速・流速のように、場所ごとに向きと大きさが決まっている量

$f(x,y)=c$(定数 $c$)

スカラー場の「同じ高さ」の点を結んだ曲線。地形図の等高線そのもの

$f=ax^2+by^2$($a,b>0$)なら等高線は必ず閉じた楕円になる

$\dfrac{dx}{dt}=F_1(x,y),\ \dfrac{dy}{dt}=F_2(x,y)$

各点でその場所の矢印の向きに進んでできる軌跡

定常な場では流線=流跡線(パーティクルの軌跡)。非定常な場では両者は一般に異なる

$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$

その点で最も急に値が増える向きと、その傾きの大きさを持つベクトル

$\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\nabla f\cdot(x',y')=0$(等高線上)

等高線上では値が変わらないので、勾配は等高線の接線と必ず直角に交わる

成立条件: $f$ が $C^1$(連続微分可能)であること。等高線が特異点(勾配=0)を持つ点では向きが定義できない

$D_{\vec u}f=\nabla f\cdot\vec u$($\vec u$ は単位ベクトル)

任意の向きへ進んだときの、その場所での変化率

成立条件: $f$ がその点で全微分可能であること。偏微分が存在するだけでは方向微分がこの内積の形にならない反例がある

$\max_{\vec u} D_{\vec u}f=|\nabla f|$($\vec u=\nabla f/|\nabla f|$ のとき)

勾配の向きが登りの最大傾斜、逆向きが下りの最大傾斜(勾配降下法の由来)

$\mathrm{div}\,\vec F=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}$

その点を中心にした微小領域からの、正味の湧き出しの密度

$\mathrm{div}\,\vec F>0$: 湧き出し、$<0$: 吸い込み、$=0$: 収支ゼロ

正なら周囲へ流れ出す源、負なら周囲から吸い込む穴

$\displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot\hat n\,ds=\iint_D \mathrm{div}\,\vec F\,dA$

領域の縁を貫く流束は、内部の発散をすべて足し合わせたものに等しい

成立条件: $\hat n$ は境界の外向き単位法線。境界 $\partial D$ が区分的に滑らかで、$\vec F$ が $D$ 上で $C^1$。特異点(点電荷など)があると素朴には適用できない

$\displaystyle\oiint_{\partial V}\vec F\cdot\hat n\,dA=\iiint_V \mathrm{div}\,\vec F\,dV$

閉曲面を貫く流束は、内部の発散の体積積分に等しい(2次元版の立体への一般化)

$\hat n$ は境界の外向き単位法線。同じく境界の滑らかさと $\vec F\in C^1(V)$ が前提。非圧縮流($\mathrm{div}\,\vec v=0$)の質量保存則の根拠

$\mathrm{curl}\,\vec F=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}$

その点での局所的な渦の強さ(渦度)。微小パドルホイールの角速度は $\mathrm{curl}$ の半分で、$\mathrm{curl}$ はその2倍にあたる

$\mathrm{curl}\,\vec F=\left(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\ \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\ \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right)$

回転軸の向きと回転の強さをまとめて表すベクトル。2次元のcurlはこのz成分

2次元の場を $z=0$ 平面に埋め込むと、x,y成分は自動的に0になり2次元curlと一致する

$\displaystyle\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\mathrm{curl}\,\vec F)\cdot\hat n\,dA$

曲面の縁を一周する周回積分は、内部のcurlの面積分に等しい

成立条件: 曲面 $S$ が区分的に滑らかな向き付け可能曲面で $\vec F\in C^1$。境界の向きと法線 $\hat n$ は右手系で対応(2次元では反時計回りが正)

$\displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r=\iint_D \mathrm{curl}\,\vec F\,dA$

平面領域では、ストークスの定理は面の法線を常にz軸方向に取ったこの形に帰着する

$\vec F=\nabla\varphi$

ある「高さの地図」$\varphi$ の勾配として書ける場

$\displaystyle\int_C\nabla\varphi\cdot d\vec r=\varphi(\text{終点})-\varphi(\text{始点})$

保存場では、線積分は経路の形によらず両端の値だけで決まる

1変数の $\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$ の一般化。$\varphi$ が $C^1$ であることが前提

単連結領域で $\vec F\in C^1$ のとき: $\mathrm{curl}\,\vec F=0 \iff \vec F$ は保存場

渦の強さが至るところ0なら、道によらない=ポテンシャルが存在する

領域が単連結(穴が無い)でなければこの同値は崩れる。角度場 $(-y,x)/(x^2+y^2)$ は原点以外で curl=0 だが、原点を囲む閉路の循環は $2\pi\neq0$(単連結でない反例)

$\displaystyle\oint\vec F\cdot d\vec r=2\pi n$($n$ は原点まわりの向き付き巻き数)

curl=0でも、囲んだ特異点を反時計回りに何周したか(符号付き)だけ循環が生じる

反時計回りに1周で $n=+1$、時計回りに1周で $n=-1$。複素解析の留数定理($\oint f(z)dz=2\pi i\sum\text{留数}$)の実2次元版に相当する構造

$\mathrm{div}\,\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$

電場の発散は、その点の電荷密度に比例する

$\displaystyle\oiint_{|\vec r|=R}\vec E\cdot\hat n\,dA=4\pi k$(場の係数 $k$、$R$ によらず一定)

電場は $1/r^2$ で弱まるが球の表面積は $r^2$ で増えるため、流束は打ち消し合って一定になる

点電荷は原点に特異点を持つため、通常の発散定理の素朴な形は原点で破れる(発散が特異点に集中=デルタ関数)

$\mathrm{div}\,\vec B=0$(常に)

磁場には孤立した湧き出し(単磁極)が存在しない。磁力線は途中で始終せず、閉じるか無限遠まで延びる

電場のガウスの法則と対照的で、マクスウェル方程式の1本目にあたる

$\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\mathrm{div}(\rho\vec v)=0$

密度一定(非圧縮)の流れでは $\mathrm{div}\,\vec v=0$ に帰着し、閉曲面を通る正味の流束が常に0になる

$\mathrm{div}\,\vec v=0$ かつ $\mathrm{curl}\,\vec v=0$

湧き出しも渦も無い理想化された流れ。速度は何らかのポテンシャル $\varphi$ の勾配として書ける

curl=0(単連結領域で)から保存場・ポテンシャルの存在が従う。第5章の結論の流体力学での応用

$d\vec r=\vec r'(t)\,dt,\quad ds=\left|\vec r'(t)\right|\,dt$

$d\vec r$ は向き付き変位、$ds$ は向きを忘れた弧長。仕事と線密度の積分を分ける

成立条件: 曲線は区分的 $C^1$ 級で各滑らかな区間上で正則($\vec r'\ne\vec0$)。同じ部分を重複してたどる表示は積分も重複して数える

$\widetilde{\vec r}(u)=\vec r\left(\phi(u)\right),\ \phi'(u)>0\ \Longrightarrow\ \displaystyle\int_C f\,ds,\ \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r$ は不変

進む速さの倍率は微分要素に入り、変数変換で相殺される

$\phi$ は向きを保つ $C^1$ 級全単射。向きを逆にするとスカラー線積分は不変だが、$d\vec r$ を使うベクトル線積分は符号反転する

$dS=\left|\vec r_u\times\vec r_v\right|\,du\,dv$

パラメータ平面の小長方形が、2本の接ベクトルの張る小平行四辺形へ移る

成立条件: $\vec r$ は $C^1$ 級で $\vec r_u\times\vec r_v\ne\vec0$。内部を重複して覆わないパッチを使い、複数パッチの重なりを二重に数えない

$\displaystyle\iint_S\vec F\cdot\hat n\,dS=\iint_D\vec F\left(\vec r(u,v)\right)\cdot\left(\vec r_u\times\vec r_v\right)\,du\,dv$

外積は面積の拡大率と法線の向きを同時に持ち、場の面を貫く成分だけを足す

$u,v$ の順を交換すると法線と流束の符号が反転する。発散定理は外向き、ストークスの定理は境界と右手系で整合する向きを選ぶ

$h_i=\left|\dfrac{\partial\vec r}{\partial q_i}\right|,\quad ds^2=\sum_{i=1}^3h_i^2dq_i^2,\quad dV=h_1h_2h_3\,dq_1dq_2dq_3$

座標を1だけ動かした量を、実空間の長さ・面積・体積へ換算する係数

3本の座標接線が直交する座標系での形。$h_i=0$ になる座標特異点では公式を直接使わず、除外して極限を取る

$(h_r,h_\phi,h_z)=(1,r,1),\quad ds^2=dr^2+r^2d\phi^2+dz^2,\quad dV=r\,dr\,d\phi\,dz$

方位角の小変化は半径 $r$ に比例した弧長になり、体積要素にも係数 $r$ が入る

$x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi$ の規約。$r=0$ では $\phi$ が一意に決まらないが、場が必ず特異とは限らない

$(h_\rho,h_\theta,h_\phi)=(1,\rho,\rho\sin\theta),\quad dV=\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\phi$

極へ近づくほど緯度円が縮み、方位角方向の長さも $\rho\sin\theta$ に比例して縮む

$\theta$ は極角、$\phi$ は方位角。$\rho=0$ と $\theta=0,\pi$ は座標特異点

$\nabla f=\sum_i\hat e_i\dfrac{1}{h_i}\dfrac{\partial f}{\partial q_i},\quad \nabla\cdot\vec A=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i\dfrac{\partial}{\partial q_i}\left(\dfrac{h_1h_2h_3}{h_i}A_i\right)$

変化率は辺の長さで割り、流出量は各面の面積を掛けてから体積で割る

$A_i$ は位置とともに向きが変わる単位基底 $\hat e_i$ に沿う成分。直交座標成分の記号だけを置き換えてはいけない

$\nabla\times\vec A=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix}h_1\hat e_1&h_2\hat e_2&h_3\hat e_3\\ \partial_{q_1}&\partial_{q_2}&\partial_{q_3}\\ h_1A_1&h_2A_2&h_3A_3\end{vmatrix}$

微小長方形の周回量を面積で割る操作に、各方向のスケール因子を組み込んだ形

直交曲線座標で、座標特異点を除き、場が必要な偏微分を持つ場所で使う。基底の位置依存は $h_i$ を含む式が処理する

$\nabla^2f=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i\dfrac{\partial}{\partial q_i}\left(\dfrac{h_1h_2h_3}{h_i^2}\dfrac{\partial f}{\partial q_i}\right)$

gradで作った流れのdiv。円柱対称・球対称なら角度微分が消えて半径方向だけになる

スカラー場の公式。ベクトル場の曲線座標成分へこの式を成分ごとに掛けても、一般のベクトルラプラシアンにはならない

$\vec F=-\nabla\Phi,\qquad \vec B=\nabla\times\vec A$

curlなしの成分を高さの勾配で、divなしの成分をベクトルポテンシャルの回転で表す

スカラーポテンシャルの大域的存在には領域の単連結性などが関係する。ベクトルポテンシャルは $\vec A\mapsto\vec A+\nabla\chi$ のゲージ自由度を持つ

$\vec F=-\nabla\Phi+\nabla\times\vec A$

場を発散が決める勾配成分と、curlが決める回転成分へ分ける

全空間では十分な滑らかさ・遠方減衰・積分の収束が前提。有界領域では境界条件と位相により、divもcurlも0の調和成分 $\vec H$ が必要になる場合がある

$\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\cdot\vec B=0$

電荷は電場の湧き出し・吸い込みを作るが、古典理論の磁場には孤立した源がない

SI単位系で $\rho$ は全電荷密度。面電荷などの不連続面では積分形を使うか、微分形を分布として解釈する

$\nabla\times\vec E=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad \nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\vec E}{\partial t}$

変化する磁場は電場の周回を、電流と変化する電場は磁場の周回を作る

面法線と境界の向きは右手系で対応させる。ファラデーの負号は誘導場が磁束変化を打ち消す向きを表す

$\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec J=0$

ある場所から電流が正味で流れ出せば、その場所の電荷密度は同じ割合で減る

アンペール・マクスウェルの法則にdivを作用させ、$\nabla\cdot(\nabla\times\vec B)=0$ と電場のガウスの法則を使って導く

$f\xrightarrow{\nabla}\text{ベクトル場},\qquad \vec F\xrightarrow{\nabla\cdot}\text{スカラー},\qquad \vec F\xrightarrow{\nabla\times}\text{ベクトル}$

入力と出力の種類を先に確認すると、grad・div・curlの取り違えを防げる

$\displaystyle\oiint_{\partial V}\vec F\cdot d\vec A=\iiint_V\nabla\cdot\vec F\,dV,\qquad \displaystyle\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec A$

閉曲面の流束は内部のdiv、境界曲線の循環は内部のcurlへ移す

場の $C^1$ 級などの滑らかさ、境界の区分的滑らかさ、特異点の不在、法線と境界の向きの整合を確認する

$ds=|\vec r'|dt,\quad d\vec r=\vec r'dt,\quad dS=|\vec r_u\times\vec r_v|dudv,\quad d\vec S=(\vec r_u\times\vec r_v)dudv$

向きを忘れる積分には長さ、向きが効く仕事・流束にはベクトル微分要素を使う

曲線・曲面表示の正則性と重複の有無を確認する。向きを反転すると $d\vec r,d\vec S$ を使う積分は符号反転する

$h_i=\left|\partial\vec r/\partial q_i\right|,\qquad \vec F=-\nabla\Phi+\nabla\times\vec A\ (+\vec H)$

対称性に合う座標で式を短くし、場の源・渦・境界由来の成分を分けて読む

座標特異点、角度規約、単位基底を確認する。ヘルムホルツ分解は領域・遠方減衰・境界条件・調和成分を省略しない