微分方程式
変化の法則を式にして、解かずに眺める。方向場・減衰振動・相平面からSIRモデルまで、微積と固有値の応用出口。
- 到達目標
- 1階・2階の微分方程式を解き、連立系の相平面や数値解法(オイラー法)まで扱えるようになる。
- 初回閲覧の目安
- 約5時間(全14レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。
このコースの前提
微積分(大学)の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。
微分・積分が解ければ、変化の法則そのもの(微分方程式)を解いて未来を予測できる。
定義・定理・公式まとめ
体感したレッスンから引ける、知識の地図です。
計算演習
何度でも新しい数値で練習できます。
第1章 微分方程式とは — 解かずに眺める
微分方程式を方向場として可視化し、初期値がどの平衡解に収束するかを安定性(f'の符号)から読み取れるようになる。目安 40分
第2章 1階微分方程式を解く
変数分離形と1階線形微分方程式を、それぞれ積分と積分因子を使って解けるようになる。目安 40分
第3章 2階線形微分方程式 — ばねと減衰振動
2階線形微分方程式を特性方程式の判別式で不足減衰・臨界減衰・過減衰に分類し、強制振動での共振と未定係数法による特殊解の求め方を扱えるようになる。目安 60分
第4章 連立微分方程式と相平面
連立線形微分方程式の軌道の形が係数行列の固有値・固有ベクトルで決まることを理解し、トレースと行列式から固定点を鞍点・節点・渦状点・中心に分類できるようになる。目安 40分
第5章 数値解法 — オイラー法
オイラー法を1歩ずつ実行して数値解の作り方を理解し、中点法・ルンゲ=クッタ法が同じ刻み幅でより高い精度を得る仕組みを扱えるようになる。目安 40分
第6章 微分方程式でモデルを作る
ロジスティック方程式・SIRモデル・ロトカ=ヴォルテラ方程式を通じて、平衡解・安定性・数値解法をモデリングの道具として使えるようになる。目安 60分