← コースに戻る

方向場を使う — 初期値と平衡解

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

方向場の線分が水平(傾き 0)になる、ゼロでない平衡解の高さ y に合わせてください。

y = 1.50 で 傾き f = 0.525

高さ y1.50

前のレッスンで、初期値を1点決めれば解が1本に決まることを見ました。 ここでは平衡解の安定性を主役にします。同じ方程式でも、初期値がどの平衡解の「勢力圏」にあるかで運命が分かれます。

触ってみる — 二手に分かれる流れ

橙の点をドラッグして、いろいろな高さから出発させてください。 $y = 3$ に吸い込まれる解と、下に落ちていく解があるはずです。

境目は不安定平衡 $y = 0$。ここより上の初期値はすべて $y = 3$ へ、下の初期値は $-\infty$ へ。 わずかな初期値の違いが、遠い未来を分ける——微分方程式で初期条件がこれほど効く理由です。

種明かし — 矢印の向きで安定性を読む

平衡解が安定か不安定かは、そのまわりの矢印を見れば分かります:

• 安定(吸い込み): 平衡解の上でも下でも、矢印が平衡解に向かう。$y = 3$ がこれ
• 不安定(反発): 矢印が平衡解から離れる。$y = 0$ がこれ

言い換えると、$f(y) = 0$ かつ「$y$ が増えると $f$ が減る」($f'< 0$)なら安定です。 $y = 3$ では $f'(3) = 0.7(1 - 2\cdot 3/3) = -0.7 < 0$ なので安定、$f'(0) = 0.7 > 0$ なので不安定。 関数の増減で安定性が読める——高校数学コース第14章の $f'$ の符号がそのまま効きます。

平衡解の分類

第4章では、この「$f'$ の符号で安定性」が連立系では固有値の符号に化けます。 1次元の $f'$ が多次元では固有値になる、と予告しておきます。

試してみよう

• 初期値を $y = 0.05$(不安定平衡のすぐ上)に置くと、しばらく $0$ 付近で粘ってから立ち上がります
• 初期値を $y = -0.05$(すぐ下)にすると、今度は落ちていきます。境目のシビアさを体感してください

理解チェック

平衡解 $y = 3$ が「安定」とは、正確には何を意味しますか?

近くから出発した解が、時間とともに $y = 3$ へ戻ってくることです。判定は $f'(3)$ の符号—— 負なら小さなずれが打ち消され(安定)、正ならずれが増幅されます(不安定)。1変数では $f'$ 1つで決まります。

操作チャレンジ — 安定・不安定を見分ける3問

場 $f(y) = (y-1)(3-y)/1.5$(平衡解は $y = 1$ と $y = 3$)で、安定・不安定・成長域を判定してください。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

内容の誤り・誤植を見つけたら こちらから報告できます。いただいた指摘は 更新履歴 に反映します。