方向場を使う — 初期値と平衡解

ウォームアップ — 第1章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

方向場の線分が水平(傾き 0)になる、ゼロでない平衡解の高さ y に合わせてください。

$y = 1.50$ で 傾き $f = 0.525$

高さ y1.50

前のレッスンで、初期値を1点決めれば解が1本に決まることを見ました。 ここでは平衡解の安定性を主役にします。同じ方程式でも、初期値がどの平衡解の「勢力圏」にあるかで運命が分かれます。

触ってみる — 二手に分かれる流れ

橙の点をドラッグして、いろいろな高さから出発させてください。 $y = 3$ に吸い込まれる解と、下に落ちていく解があるはずです。

プローブ点の座標

$x$$y$

プローブ点は(-2.50, 1.00)。この点での傾き dy/dx は0.467で、解曲線はこの向きに伸びていきます。

橙の点をドラッグすると、その点を通る解曲線が伸びます。

境目は不安定平衡 $y = 0$。ここより上の初期値はすべて $y = 3$ へ、下の初期値は $-\infty$ へ。 わずかな初期値の違いが、遠い未来を分けます。境目がちょうど不安定平衡になっているという双安定の構造が、その理由です。

種明かし — 矢印の向きで安定性を読む

平衡解が安定か不安定かは、そのまわりの矢印を見れば分かります:

• 安定(吸い込み): 平衡解の上でも下でも、矢印が平衡解に向かう。$y = 3$ がこれ
• 不安定(反発): 矢印が平衡解から離れる。$y = 0$ がこれ

言い換えると、$f(y) = 0$ かつ「$y$ が増えると $f$ が減る」($f'< 0$)なら安定です。 $y = 3$ では $f'(3) = 0.7(1 - 2\cdot 3/3) = -0.7 < 0$ なので安定、$f'(0) = 0.7 > 0$ なので不安定。 関数の増減で安定性が読めます。高校数学コース第14章の $f'$ の符号がそのまま効きます。

平衡解の分類

第4章では、この「$f'$ の符号で安定性」が連立系では固有値の実部の符号に化けます (実部がちょうど $0$ になる非双曲型のケースは、この符号だけでは決まらず追加の判定が必要です)。 1次元の $f'$ が多次元では固有値になる、と予告しておきます。

試してみよう

• 初期値を $y = 0.05$(不安定平衡のすぐ上)に置くと、しばらく $0$ 付近で粘ってから立ち上がります
• 初期値を $y = -0.05$(すぐ下)にすると、今度は落ちていきます。境目のシビアさを体感してください

理解チェック

平衡解 $y = 3$ が「安定」とは、正確には何を意味しますか?

近くから出発した解が、時間とともに $y = 3$ へ戻ってくることです。判定は $f'(3)$ の符号で決まり、 負なら小さなずれが打ち消され(安定)、正ならずれが増幅されます(不安定)。ただし $f'(y^*) = 0$ のときは この1階の情報だけでは決まりません(例: $f = -y^3$ は安定、$f = y^3$ は不安定、$f = y^2$ は半安定(片側の解は引き寄せ、反対側の解は遠ざける状態)です)。

操作チャレンジ — 安定・不安定を見分ける3問

場 $f(y) = (y-1)(3-y)/1.5$(平衡解は $y = 1$ と $y = 3$)で、安定・不安定・成長域を判定してください。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

平衡解 $f(y^*) = 0$ が「安定」と判定できるのは、f の傾きがどうなっているときですか。

$f'(y^*) = 0$(傾きがちょうど 0)$f'(y^*) < 0$(y が増えると f が減る)$f'(y^*) > 0$(y が増えると f が増える)

ヒントを見る

確認 2 / 3

$f(y) = 0.7\,y(1 - y/3)$ の平衡解 $y = 3$ での $f'(3)$ はいくつですか。$f'(y) = 0.7 - 1.4y/3$ で計算してください。

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 3 / 3

チャレンジの場 $f(y) = (y-1)(3-y)/1.5$ の平衡解 $y = 1$ での $f'(1)$ はいくつですか。$f(y) = (-y^2 + 4y - 3)/1.5$ より $f'(y) = (-2y + 4)/1.5$ です。

答え

±√π

確認

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