定義・定理・公式まとめ

$\dfrac{dy}{dx} = f(x,y)$

平面の各点にあらかじめ傾きが1つ指定されている、と読む

求めるのは数ではなく関数 $y(x)$。初期条件 $y(x_0)=y_0$ を1つ決めると解が1本に定まる

各点 $(x,y)$ に傾き $f(x,y)$ の短い線分を置いた図

解曲線はこの線分をなぞるように伸びていく1本の川

初期値 $y(x_0)=y_0$ を1点決めると、そこから解は1本に定まる

方向場の上を1本の川が流れるように、出発点が決まれば経路も決まる

厳密には $f$ がリプシッツ条件を満たすことが十分条件(本コースでは深入りしない発展テーマ)

$f(x,y)=0$ となる水平な解(定数解)

その高さでは傾きが0なので、解はそこに留まったまま動かない

$f'(y^*) < 0 \Rightarrow$ 安定、$f'(y^*) > 0 \Rightarrow$ 不安定

まわりの矢印が平衡解へ向かえば安定、離れれば不安定

1変数の安定性は $f'(y^*)$ の符号1つで決まる。多変数では固有値の実部の符号に一般化される(第4章)

$\dfrac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

xの項とyの項の積に分けられれば、両辺を積分するだけで解ける

$\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx \;\Longrightarrow\; \displaystyle\int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx$

左にy、右にxを振り分けてから、両辺を別々に積分する

$h(y)=0$ となる $y$ は積分で割れないが、そのまま平衡解になっている(別扱いで拾う)

$\dfrac{dy}{dx} = -k y \;\Longrightarrow\; y = Ce^{-kt}$、半減期 $= \dfrac{\ln 2}{k}$

崩壊定数kが大きいほど、半分になるまでの時間は短くなる

$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

右辺の $Q(x)$ があるせいで変数分離できない代表格

$\mu(x) = e^{\int P\,dx}$

両辺に掛けると左辺がちょうど $\frac{d}{dx}(\mu y)$ という1つの微分にまとまる

$\mu \dfrac{dy}{dx}+\mu P y = \dfrac{d}{dx}(\mu y)$ が成り立つのは $\mu'=\mu P$ のときだけ(積の微分の逆算)

一般解 $=$ 同次解(過渡項) $+$ 特殊解(定常解)

過渡項は時間とともに消え、特殊解(定常解)だけが最後に残る

線形方程式だから成り立つ重ね合わせ。第3章の2階線形・第4章の連立系でも同じ骨格が繰り返される

$m\dfrac{d^2x}{dt^2} + b\dfrac{dx}{dt} + kx = 0$

質量・摩擦・ばねの硬さ、3つの係数だけで運動の質が決まる

$mr^2+br+k=0 \;\Longrightarrow\; r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}$

$x=e^{rt}$ を代入すると指数が消え、rの2次方程式だけが残る

判別式 $b^2-4mk$ の符号で分岐: 負→複素共役(不足減衰)、0→重根(臨界減衰)、正→相異2実根(過減衰)

$x(t) = e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t)$、$r=\alpha\pm\beta i$

実部 $\alpha$ が振幅の封筒(減衰)を、虚部 $\beta$ が振動数を決める

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$(オイラーの公式)により複素指数が三角関数にほどける

$b = 2\sqrt{mk}$

これより小さければ振動し、大きければ振動せずに収束する

$A(\omega) = \dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}$

分母の $k-m\omega^2$ が $\omega=\sqrt{k/m}$ で消えると振幅が跳ね上がる

$\omega = \omega_0 = \sqrt{k/m}$

外力の振動数を固有振動数に合わせると、小さな力でも大きく揺れる

共振点では分母が $b\omega$ だけになるため、$b\to0$ で振幅は発散する(減衰=ダンパーが発散を防ぐ命綱)

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = C_1e^{\lambda_1t}\vec{v}_1 + C_2e^{\lambda_2t}\vec{v}_2$

固有ベクトル座標で見ると、各成分が $e^{\lambda t}$ で独立に伸縮するだけになる

線形代数コース第9章の対角化と同じもの。$A$ が2つの1次独立な固有ベクトルを持つことが前提

初期値が固有ベクトル上なら、解はその直線から外れず $e^{\lambda t}$ 倍されるだけ

$\lambda>0$ なら外向き、$\lambda<0$ なら原点向きの直線

$\mathrm{tr}=a+d,\ \det=ad-bc,\ \lambda=\dfrac{\mathrm{tr}\pm\sqrt{\mathrm{tr}^2-4\det}}{2}$

行列式の符号が鞍点かどうかを、トレースの符号が安定・不安定を決める

$\det<0$→鞍点。$\det>0$ かつ $\mathrm{tr}^2>4\det$→節点(実根)、$\mathrm{tr}^2<4\det$→渦状点(複素根)、$\mathrm{tr}=0$→中心

すべての固有値の実部が負 $\iff$ 安定(原点へ収束)

節点でも渦状点でも、安定・不安定を分けるのは実部の符号だけ

1変数の $f'(y^*)$ の符号(第1章)が、多変数では固有値の実部の符号に一般化されたもの

$\mathrm{tr}=0,\ \det>0 \;\Longrightarrow\;$ 純虚数の固有値

実部がちょうど0なので、原点に近づきも離れもせず、閉じた輪を回り続ける

$y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),\quad x_{n+1}=x_n+h$

今の傾きを読み、その向きに幅hだけまっすぐ進む

誤差 $\propto h$(1次精度)

曲がるべき所を直線で近似するので、真の解から少しずつずれる

刻み幅を大きくしすぎると1歩ごとに符号が反転して発散する(数値不安定)。方程式ごとに発散が始まる $h$ の上限がある

$k_1=f(x_n,y_n),\ k_2=f(x_n+\tfrac{h}{2},y_n+\tfrac{h}{2}k_1),\ y_{n+1}=y_n+h\,k_2$

半歩だけ試し進みして中点の傾きを測り直してから、本番の1歩を進める

$y_{n+1} = y_n + \dfrac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

1歩の中で傾きを4回測って加重平均する。実務のシミュレーションの既定手法

誤差は $h^4$ に比例。$h$ を半分にすると誤差は $1/16$ になる(中点法は $h^2$ 比例で $1/4$、オイラー法は $h$ 比例で $1/2$)

精度(小さい $h$ での正確さ)と安定性(大きい $h$ での暴れにくさ)は独立

高次法でも $h$ を上げすぎれば発散する。次数は精度だけを保証する

$\dfrac{dP}{dt} = rP\left(1-\dfrac{P}{K}\right)$

環境収容力Kに近づくほど成長にブレーキがかかる、頭打ちのある成長

平衡解 $P=0$(不安定)と $P=K$(安定)、変曲点(成長最速)$P=K/2$

$P=0$ 付近では指数成長、$K$ 付近では頭打ち。折れ目の $K/2$ で成長が最も速い

$R_0 = \dfrac{\beta}{\gamma}$

$R_0>1$ なら感染者は増加(流行)、$R_0<1$ なら減少(自然消滅)

$R_0=1$ が流行の分水嶺。ワクチンや接触削減は $\beta$ を下げて $R_0$ を1の下へ押し込む操作にあたる

$\dfrac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy,\ \dfrac{dy}{dt}=\delta xy-\gamma y$、固定点 $(x^*,y^*)=\left(\dfrac{\gamma}{\delta},\dfrac{\alpha}{\beta}\right)$

獲物と捕食者が食う・食われるの関係で増減しあう非線形の連立系

$H(x,y)=\delta x-\gamma\ln x+\beta y-\alpha\ln y$

軌道に沿って $H$ が一定だから、軌道は $H$ の等高線=閉じた輪になる

この保存量はロトカ=ヴォルテラ特有の構造(非線形項が釣り合う特別な形)から来るもので、一般の非線形系には存在するとは限らない