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微分方程式とは — 方向場で解を眺める

高校数学コース第6章では、漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ で「次の項は今の項から決まる」数列を、 クモの巣図で追いました。微分方程式はその連続版です。「次の値」ではなくその瞬間の変化率を決める:

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

読み方はこうです。「点 $(x, y)$ にいるとき、$y$ は $f(x,y)$ の速さで変わる」。 高校数学コース第12章で $\frac{dy}{dx}$ を接線の傾きとして見ました。だからこの式は、 平面の各点に傾きが1つずつ指定されていると読めます。解は数ではなく関数 $y(x)$ — その傾き指定を残らず満たす曲線です。

触ってみる — 方向場の上に解が浮かぶ

各点に傾き $f(x,y)$ の短い線分を置いたものが方向場(スロープフィールド、slope/direction field)です。 下は成長モデル $\frac{dy}{dx} = 0.7\,y(1 - y/3)$ の方向場。橙の点をドラッグしてください。 その点を通る解曲線が、線分をなぞるように前後へ伸びていきます。

まだ式を解いていません。それでも、初期値を1つ決めれば解が1本に決まることが手で分かります。 どこから出発しても、解は緑の破線 $y = 3$ に吸い込まれていく——これが方向場の力です。

種明かし — 傾きの地図をなぞるだけ

解曲線がやっていることは単純です。今いる点の傾き $f(x,y)$ を読み、その向きに少し進み、 また次の点で傾きを読み直す。方向場はその傾きを平面じゅうに書き出した地図で、 解はその地図の上を流れる1本の川です。第5章のオイラー法は、この「少し進む」を文字どおり実行します。

初期値 $y(x_0) = y_0$ を1点決めると、そこから川は1本に定まります。これが解の存在と一意性の直感です。 厳密な条件(リプシッツ条件)もありますが、本コースでは深入りしません(発展テーマ)。

平衡解 — 流れが止まる高さ

$f(x, y) = 0$ となる水平線では傾きが $0$、つまり解がそこに留まります。これが平衡解です。 上の図では $y = 0$ と $y = 3$ の2本。他の解は $y = 3$ には吸い寄せられ($=$ 安定)、 $y = 0$ からは離れていきます($=$ 不安定)。安定性の詳しい話は第4章・第6章の主役になります。

試してみよう

• 橙の点を $y = 3$ の上に置くと、解はどうなりますか(水平のまま — 平衡解です)
• $y = 3$ より上から出発させてください。解は下がって $3$ に近づきます(その高さでは傾きが負)
• 初期値を $y = 0$ のすぐ上に置くと、最初はゆっくり、途中で急に立ち上がります(S字成長の予告)

理解チェック

「微分方程式を解く」とは、結局何を求めることでしょうか?

数ではなく関数 $y(x)$ を求めることです。方程式 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ を満たす曲線のうち、 初期条件で1本を選び出します。方向場は「その曲線がどう走るか」を、解く前に見せてくれる下絵です。

操作チャレンジ — 方向場を読む3問

方向場の傾き $f(y) = 0.7\,y(1 - y/3)$ を手がかりに、平衡解・最急・下降域を当ててください。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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