ε-δ論法 — 「近づく」を数式で言い切る

高校数学コース第11章では、極限を「$x$ を $a$ にじわじわ近づけると $f(x)$ が向かう先」として指で確かめました。あの直感は正しいものの、大学の解析学では立ち止まって考え直します。「じわじわ近づく」とは、正確には何でしょうか。

その答えが ε-δ(イプシロン・デルタ)論法です。多くの大学1年生が最初に転ぶ場所ですが、正体は数式ではなくゲームのルールです。まずゲームとして遊んでみましょう。

触ってみる — 攻めの $\varepsilon$、守りの $\delta$

ルールはこうです。$f(x) = x^2$ が $x \to 1$ で $1$ に収束する、とあなたが主張しているとします。

1. 相手(攻め) が誤差の許容幅 $\varepsilon$ を突きつけてくる:「$f(x)$ を $1 \pm \varepsilon$ に収めてみろ」(橙の帯)
2. あなた(守り) は幅 $\delta$ を選んで応じる:「$x$ を $1 \pm \delta$ に絞れば、収まる」(青の帯)
3. 青い帯の中の曲線が橙の帯からはみ出したら(赤)、あなたの負け

$\varepsilon$ を小さくされても、そのたび $\delta$ を選び直して守り切れるでしょうか。両方のスライダーで攻防を体感してください。

$\varepsilon$ を厳しくするほど $\delta$ を狭めないと守れないこと、でもどんなに厳しい $\varepsilon$ でも守れる $\delta$ が必ず見つかることが分かるはずです。

種明かし — 定義はゲームの記録にすぎない

いま遊んだゲームを1行に書き下ろすと、教科書の定義そのものになります:

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x\ \big(0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\big)$$

「収束する」とは、この守りの戦略が存在するということ。「じわじわ」「限りなく」といった時間のニュアンスは、実は一切いらなかったのです。

$0 < |x - a|$ の条件($x = a$ 自身は見ない)にも注目してください。極限は $a$ に近づく途中の挙動だけで決まり、$a$ ちょうどでの値は一切使いません。この条件が効いているのは、$f(a)$ が定義されているのに極限値と違う場合です。たとえば $x \neq 0$ で $f(x) = 0$、$x = 0$ でだけ $f(0) = 1$ という関数でも、$x = 0$ 自身を見ない約束のおかげで $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ と妥当に定義できます(この条件が無いと$|f(0) - 0| < \varepsilon$ まで要求されてしまい、この極限は存在しないことになってしまいます)。なお高校11章で見た「穴あき関数」($f(a)$ が存在しない)については、$\forall x$ の動く範囲がもともと$f$ の定義域なので、$x = a$ は初めから範囲外です。どちらの場合も「$a$ での値は極限に無関係」が貫かれています。

試してみよう

• $\varepsilon = 0.2$ のとき、ぎりぎりまで大きく取れる $\delta$ はいくつか(答えは $\sqrt{1.2} - 1 \approx 0.095$。$x^2$ は右側が先にはみ出すため)
• 逆に「収束しない」とは何か、ゲームの言葉で言ってみてください(→ 相手のある $\varepsilon$ に対して、どんな $\delta$ でも赤が出ること。次のレッスンで実際に暴きます)

腕試し — 攻めの $\varepsilon$ に、守りの $\delta$ で応じる

今度は相手が3段階で $\varepsilon$ を突きつけてきます($\varepsilon$ は固定)。あなたは $\delta$ のスライダーだけで応じてください。青い帯の中の曲線が橙の帯に収まれば「守れた」の合図で、青い帯が光ります。3つの $\varepsilon$ すべてを守り切りましょう。

$\varepsilon$ が厳しくなるほど $\delta$ を狭めないと守れませんが、どんな $\varepsilon$ でも守りの $\delta$ は必ず存在することを体で覚えてください。

理解チェック

$\delta = 0.001$ のような極端に小さい守りは「ずるい」のでは?

ずるくはありません。定義が要求するのは存在だけなので、小さすぎる守りも有効です。ただし面白いのは攻めに応じたぎりぎりの守りを見つけること。次のレッスンのチャレンジでは「攻めた守り」だけが認められます。

$\varepsilon$ と $\delta$、先に決まるのはどっち?

必ず $\varepsilon$ が先(相手の攻めが先)です。$\delta$ は「その $\varepsilon$ を見てから」選んでよく、この順序($\forall \varepsilon\ \exists \delta$)が逆になると全く別の(誤った)主張になります。量化子($\forall$「すべての」・$\exists$「存在する」を表す記号)の順序がこの定義を決めています。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\varepsilon$-$\delta$の定義で、$\varepsilon$ と $\delta$ はどちらが先に決まりますか?

どちらでもよい同時に決まる$\delta$ が先。自分の $\delta$ を決めてから $\varepsilon$ が来る$\varepsilon$ が先。相手が $\varepsilon$ を出し、それを見てから $\delta$ を選ぶ

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確認 2 / 3

$f(x)=x^2$、$x\to1$、$L=1$ とします。$\varepsilon=0.2$ のとき守り切れる最大の $\delta$ はおよそいくつ?($\sqrt{1.2} - 1$ を小数で)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

定義にある条件 $0 < |x-a|$($x=a$ 自身は見ない)が効いているのはどんな場合ですか?

$f(a)$ の値が極限値に一致することが要求される$f(a)$ が極限値と違っていても、$a$ に近づく途中の挙動だけで極限を定義できる$x$ は $a$ に十分近いだけでなく、最後は $a$ に一致する必要がある$f(a)$ が存在しない関数では極限を定義できない

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