← コースに戻る

ε-δ論法 — 「近づく」を数式で言い切る

高校数学コース第11章では、極限を「$x$ を $a$ にじわじわ近づけると $f(x)$ が向かう先」として指で確かめました。 あの直感は正しい。でも大学の解析学は、ここで一度立ち止まって聞いてきます—— 「じわじわ近づく」って、正確には何?

その答えが ε-δ(イプシロン・デルタ)論法です。多くの大学1年生が最初に転ぶ場所ですが、 正体は数式ではなくゲームのルールです。まずゲームとして遊んでみましょう。

触ってみる — 攻めのε、守りのδ

ルールはこうです。$f(x) = x^2$ が $x \to 1$ で $1$ に収束する、とあなたが主張しているとします。

1. 相手(攻め) が誤差の許容幅 ε を突きつけてくる:「$f(x)$ を $1 \pm \varepsilon$ に収めてみろ」(橙の帯)
2. あなた(守り) は幅 δ を選んで応じる:「$x$ を $1 \pm \delta$ に絞れば、収まる」(青の帯)
3. 青い帯の中の曲線が橙の帯からはみ出したら(赤)、あなたの負け

εを小さくされても、そのたびδを選び直して守り切れるか——両方のスライダーで攻防を体感してください。

εを厳しくするほどδを狭めないと守れないこと、でもどんなに厳しいεでも守れるδが必ず見つかることが分かるはずです。

種明かし — 定義はゲームの記録にすぎない

いま遊んだゲームを1行に書き下ろすと、教科書の定義そのものになります:

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 \ \text{s.t.}\ 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$

「収束する」とは、この守りの戦略が存在するということ。 「じわじわ」「限りなく」といった時間のニュアンスは、実は一切いらなかったのです。

$0 < |x - a|$ の条件($x = a$ 自身は見ない)にも注目してください—— 高校11章で見た「穴あき関数」($f(a)$ が存在しなくても極限はある)が、定義の中に最初から織り込まれています。

試してみよう

• ε = 0.2 のとき、ぎりぎりまで大きく取れる δ はいくつか(答えは $\sqrt{1.2} - 1 \approx 0.095$。$x^2$ は右側が先にはみ出すため)
• 逆に「収束しない」とは何か、ゲームの言葉で言ってみてください(→ 相手のあるεに対して、どんなδでも赤が出ること。次のレッスンで実際に暴きます)

理解チェック

δ = 0.001 のような極端に小さい守りは「ずるい」のでは?

ずるくありません——定義が要求するのは存在だけなので、小さすぎる守りも有効です。 ただし面白いのは攻めに応じたぎりぎりの守りを見つけること。次のレッスンのチャレンジでは「攻めた守り」だけが認められます。

εとδ、先に決まるのはどっち?

必ず ε が先(相手の攻めが先)です。δは「そのεを見てから」選んでよい—— この順序($\forall \varepsilon\ \exists \delta$)が逆になると全く別の(誤った)主張になります。量化子の順序こそがこの定義の心臓部です。