定義・定理・公式まとめ

$\forall \varepsilon>0,\ \exists\delta>0\ \text{s.t.}\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

「攻めのε」に対して、それを見てから選べる「守りのδ」が必ず見つかれば収束

量化子の順序が肝心。εが先で、δはεを見てから選んでよい。順序が逆になると別の主張になる

$0 < |x-a| < \delta$($x=a$ 自身は見ない)

極限は $a$ へ近づく途中の挙動だけで決まり、$a$ そのものでの値は使わない

この条件が意味を持つのは $f(a)$ が極限値と違う場合($x\neq0$ で $f(x)=0$、$f(0)=1$ でも $\lim_{x\to0}f(x)=0$)。$f(a)$ が存在しない穴あき関数は $\forall x$ の範囲($f$ の定義域)から自動的に除外される

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

極限が存在し、しかもその行き先がちょうど $f(a)$ 自身であること

穴あき関数は極限はあっても $f(a)$ と別の場所にあるため不連続になる

$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\ \text{s.t.}\ n>N \Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon$

守りの道具が「幅δ」から「番号N」に変わるだけで、構造はε-δと同じ

$\exists \varepsilon>0\ \text{s.t.}\ \forall\delta>0,\ \exists x:\ |x-a|<\delta\ \text{かつ}\ |f(x)-L|\geq\varepsilon$

攻守を交代し、あるεに対してどんなδを出されても反例が見つかることを示す

$\forall$ と $\exists$ が元の定義からすべて入れ替わっている。否定を機械的に作る練習の題材

$T_n(x) = f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

中心での値・傾き・曲がり具合……を次数の数だけ一致させた多項式

$\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots$

$\sin$ の導関数は $\cos,-\sin,-\cos,\sin,\ldots$ の循環なので偶数次が消える

$|R_n(x)| \leq \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$

$(n+1)!$ が急激に大きくなるため、誤差は小さくなっていく

$M$ は $f^{(n+1)}$ の上限。sin/cos ならどの区間でも $M=1$ が使える

近似が正確なのは、いつでも展開中心 $a$ のまわりだけ

中心から遠い点を知りたいなら、0のまわりで高次まで粘るより中心を移す方が安上がり

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x\to0}\dfrac{-x^3/3!+\cdots}{x^3} = -\dfrac16$

関数を多項式に直してから比べるだけで、約分の工夫がいらなくなる

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to\infty}S_n,\quad S_n=a_1+\cdots+a_n$

無限個の足し算を「途中まで足した値の行き先」という1変数の極限に翻訳する

調和級数 $\sum 1/n$ は項が0に向かうのに部分和は発散する

$1+\frac12+(\frac13+\frac14)+\cdots$ と括ると、各括弧が $\frac12$ 以上残り続ける

$\sum 1/n^p$ は $p>1$ で収束、$p\leq1$ で発散

境界 $p=1$(調和級数)は発散側に含まれるが、ギリギリ上の $p=1.001$ でも収束する

積分判定($\int_1^\infty dx/x^p$ と収束・発散が一致する)から従う

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots\ (|x|<1)$

収束半径の内側でだけ関数として振る舞い、外側では等式そのものが意味を失う

条件収束級数(交代調和級数など)は項の順序を変えると和が変わる

同じ項を並べ替えるだけで、狙った目標値へ和を誘導できる(リーマンの再配列定理)

絶対収束する級数(例: $\sum 1/n^2$)ではこの現象は決して起きない

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$: $y$ を定数だと思って $x$ で微分する

曲面を $y=$ 一定の平面で切った断面の、1変数としての傾き

$\nabla f = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)$

最も急な上り方向を向き、長さがその急さそのもの

等高線とは常に直交する(同じ高さの方向には登り成分がゼロだから)。$f$ が $C^1$ かつ $\nabla f\neq\vec 0$ の点に限る

$D_{\vec u} f = \nabla f \cdot \vec u = |\nabla f|\cos\theta$

勾配を $\vec u$ 方向へ落とした「影」の長さ

$\vec u$ は単位ベクトルが前提。$f$ がその点で全微分可能でなければ、方向微分がこの内積の形にならない反例がある。$\theta=0$ で最大(勾配方向)、$\theta=90°$ で $0$(等高線方向)

$\dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$

経路ごとの寄与(傾き×変化率)を掛けて、経路の数だけ足し合わせる

$f(x+dx,\ y+dy) \approx f(x,y) + f_x\,dx + f_y\,dy$

曲面をズームすると平面に見える、その平面を式にしただけ

近似の誤差が移動距離 $h$ より速く $0$ に向かう($o(h)$)ことが「微分可能」の多変数版の定義

$\nabla f = \vec 0$

極大・極小・鞍点、すべての候補地点がまずここに現れる

$H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$ の固有値がすべて正→極小、すべて負→極大、正負混在→鞍点

1変数の「$f''>0$ なら下に凸」を、固有値という言葉で多変数に広げたもの

固有値に $0$ が混じると判定不能($f=x^2+y^4$ の原点がその例。最後は関数そのものを直接見る必要がある)

$f(x,y)=x^2-y^2$ の原点は $x$ 方向に谷底、$y$ 方向に山頂

方向によって極大にも極小にも見える峠(馬の鞍の形)

$\vec x_{k+1}=\vec x_k-\eta\nabla f(\vec x_k)$

いまいる場所の下り方向へ、歩幅ηだけ進むことを繰り返す

ηが大きすぎるとテイラー1次近似(接平面近似)が成り立たなくなって発散する。地形の曲率がηの上限を決める

制約 $g=c$ の下で $\nabla f = \lambda \nabla g$

目的関数の等高線と制約曲線が接する瞬間、両者の勾配(法線)が平行になる

$\nabla g\neq\vec 0$(制約が正則な点)であることが前提。$\nabla g=\vec 0$ の点は別途調べる必要がある。$\lambda$ は制約を1単位ゆるめたときの最適値の改善量(経済学でいうシャドープライス)

$\displaystyle\iint_D f(x,y)\,dA = \lim_{n \to \infty} \sum_{i,j} f(x_i, y_j)\,\Delta x \Delta y$

「面積×高さ」の小さな箱を、体積になるまで足し尽くす

$\displaystyle\iint_D f\,dA = \int\!\left(\int f\,dy\right)dx$

内側の変数で積分している間、外側の変数はただの定数(偏微分と同じ割り切り)

積分順序を交換できるのはフビニの定理による。被積分関数がまとも(可積分)であることが前提

$J=\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta \\ \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix}$

各点での局所的な線形近似(偏微分を並べた行列)の行列式

極座標では $J=r$。線形代数コース第5章の「行列式=面積拡大率」の、場所ごとの局所版

$\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy = \iint f(x(r,\theta),y(r,\theta))\,|J|\,dr\,d\theta$

拡大率で補正しながら、面積要素を新しい座標系に写し替える

極座標では $J=r\geq0$ なので絶対値記号を付けても外しても値は変わらない

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

2乗して2次元に上げると回転対称性が生まれ、角度方向の積分が自明になる

初等関数の原始関数は存在しない。$re^{-r^2}$ の形にしてから置換 $u=r^2$ で解く

$W=\displaystyle\int_C \vec F\cdot d\vec r$

経路を歩く間に、場から受け取る仕事の収支

$\displaystyle\int_C \nabla\varphi \cdot d\vec r = \varphi(\text{終点}) - \varphi(\text{始点})$

1変数の基本定理 $\int_a^b f'=f(b)-f(a)$ の、場バージョン

$\vec F=\nabla\varphi$ と書けることが保存場の定義。渦の場にはこの $\varphi$ が存在しない。等式の成立には $\varphi$ が $C^1$ であることが前提

$\mathrm{curl}\,\vec F = \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}$

その場所での「渦の強さ」を測る量

$\displaystyle\oint_{\partial D}\vec F\cdot d\vec r = \iint_D \mathrm{curl}\,\vec F\, dA$

縁(境界)を一周歩くだけで、中身(内部の重積分)がすべて分かる

成立条件: $\vec F$ が $D$ 上で $C^1$、境界 $\partial D$ が区分的に滑らかな閉曲線。境界は反時計回りが正の向きで、時計回りに歩くと左辺の符号が反転する

$\mathrm{curl}\,\vec F=0 \iff$ どんな閉路でも $\oint \vec F\cdot d\vec r=0$(保存場)

湧き出し場のcurlは0。だから前レッスンでポテンシャル $\varphi$ が存在した

この同値は $\vec F$ が $C^1$ で、かつ領域が単連結(穴がない)であることが前提。原点に特異点を持つ渦のような場では破れる