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ε-δを使う — 連続・数列・そして反例

ウォームアップ — 第11章の振り返り

問1 / 1

グラフが x = 2 で「向かっている高さ」に、橙の破線をぴったり合わせてください。そこに関数の値はありません(穴)。

予想 L1.00

前のレッスンでε-δゲームのルールを覚えました。今回はこの道具で 「連続」を定義し直し、数列にも同じ考えを広げ、最後に守れない主張を暴く技術を身につけます。

連続の定義 — 極限と値が一致する

高校11章では「ペンを離さず描ける」が連続でした。ε-δの言葉では1行です:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

つまり「極限が存在して、しかもその行き先が $f(a)$ 自身」。 穴あき関数が不連続なのは、極限($L$)はあるのに $f(a)$ が別の場所(または存在しない)だから—— 2つの概念の分離が、定義のレベルではっきり見えます。

$f(x) = x^2$ は $x = 1$ で連続。どんな橙の帯にも青の帯で応じられ、行き先は $f(1) = 1$ ちょうどです。

数列の極限 — δの代わりにN

数列 $a_n \to L$ の定義は、守りの道具が「幅δ」から「番号N」に変わるだけです:

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \ \text{s.t.}\ n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$$

「どんな許容誤差εを突きつけられても、十分先の項からは全部その誤差内に入る」。 第3章(級数)で部分和の収束を扱うときの土台がこれです。 高校6章のクモの巣図で見た「吸い込まれていく」現象は、この定義で初めて証明できる主張になります。

守れない主張を暴く — 否定の技術

「収束しない」ことを示すには、ゲームの攻守を交代します: あるεを1つ選び、相手がどんなδを出してきても赤(反例)を見つければ勝ちです。

$$\exists \varepsilon > 0 \ \text{s.t.}\ \forall \delta > 0,\ \exists x:\ |x-a|<\delta \ \text{かつ}\ |f(x)-L| \geq \varepsilon$$

量化子($\forall/\exists$)が全部裏返っていることを確認してください。 論理の否定を機械的に作る練習として、ε-δは最高の題材です——院試の証明問題もこの型の運用がほとんどです。

試してみよう

• $f(x) = 1/x$ は $x \to 2$ で $1/2$ に収束します。ε = 0.1 に対する最大の守りは $\delta = 4\varepsilon/(1+2\varepsilon) = 1/3$。左端(分母が小さくなる側)が先に破れるのがポイント
• 段差関数(高校11章)が $x=1$ で収束しないことを、ε = 0.5 で暴く筋書きを言葉で組み立ててみてください

操作チャレンジ — 攻防で解く

守りの2問(攻めたδだけが認められます)と、過大な主張を反例で暴く1問。