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偏微分方程式

熱・波・ラプラス。初期分布を指で描くと角が丸まり(拡散)、弦が左右に分裂して端で跳ね返り(波動)、境界値が内部を滑らかに埋める(調和)。フーリエと微分方程式の合流点。

到達目標
熱・波動・ラプラス方程式を時間発展の可視化で理解し、変数分離とフーリエ級数で解く手順、差分法の数値解と安定性まで扱えるようになる。
初回閲覧の目安
約8時間(全19レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。

このコースの前提

  • 微積分(大学)の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。

    多変数の偏微分で、熱・波動・ラプラスといった場の方程式を扱う。

  • 微分方程式の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。

    常微分方程式の変数分離・重ね合わせが、偏微分方程式を解く土台になる。

第1章から始める →プレミアムに加入(¥1,480/月)

定義・定理・公式まとめ

体感したレッスンから引ける、知識の地図です。

計算演習

何度でも新しい数値で練習できます。

第1章　PDEの分類 — 定常・拡散・伝播

熱・波動・ラプラス方程式の違いを時間発展の可視化で捉え、判別式 b2−4acb^2-4ac の符号で楕円・放物・双曲型を厳密に分類できるようになる。目安 80分

  1. 偏微分方程式の読み方無料
  2. 楕円・放物・双曲を見分ける無料

第2章　熱方程式 — 拡散と平滑化

熱方程式が凹凸を均す仕組みを可視化で捉え、固有モード sin⁡(nπx)e−α(nπ)2t\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t} が高波数ほど速く減衰することを厳密解で確かめる。目安 80分

  1. 熱方程式と拡散無料
  2. 熱方程式を解く — モードの減衰無料

第3章　波動方程式 — 伝播と反射

ダランベール解 f(x−ct)+g(x+ct)f(x-ct)+g(x+ct) で波動方程式の有限速度伝播を理解し、固定端・自由端での反射を鏡像法(奇周期・偶周期拡張)で導けるようになる。目安 80分

  1. 波動方程式とダランベール解プレミアム
  2. 波動方程式を使う — 反射と定在波プレミアム

第4章　ラプラス方程式 — 調和関数

調和関数の平均値性を1次元の直線から体感し、格子上のGauss-Seidel緩和法とディリクレ問題の一意性・最大値原理を理解する。目安 80分

  1. ラプラス方程式と調和関数プレミアム
  2. 境界値問題を解くプレミアム

第5章　変数分離とフーリエ

変数分離法 u=X(x)T(t)u=X(x)T(t) で固有値問題に帰着させ、フーリエ正弦級数の係数公式で任意の初期分布から解を組み立てられるようになる。目安 80分

  1. 変数分離法プレミアム
  2. フーリエ級数で解を組むプレミアム

第6章　数値解 — 差分法

中心差分による差分法(FTCS法)で熱方程式を数値的に近似し、CFL条件 r≤1/2r\le1/2 を超えると数値解が発散する不安定性を体感する。目安 80分

  1. 差分法で近似するプレミアム
  2. 数値安定性とCFL条件プレミアム

第7章　特性曲線法 — 移流と輸送

移流方程式を特性曲線上の常微分方程式へ変換し、変数係数の流れと Burgers 方程式で特性線が交差して古典解が破綻する仕組みを説明できるようになる。目安 80分

  1. 一定速度の移流 — 形を変えずに運ぶプレミアム
  2. 曲がる特性線と交わる特性線 — 変数係数から衝撃波へプレミアム

第8章　熱核と非斉次問題

全空間の熱核と初期値の畳み込みを可視化で捉え、フーリエ変換による導出と線形な非斉次問題のデュアメル公式を条件付きで使えるようになる。目安 80分

  1. 熱核 — ガウス分布で初期値を平均するプレミアム
  2. フーリエ変換とデュアメルの原理 — 初期値と外力を重ねるプレミアム

第9章　円板のラプラス方程式 — 極座標

円板のラプラス方程式を極座標で分離し、境界フーリエモードの調和拡張とポアソン積分を計算し、円膜でベッセル関数が現れる理由を説明できるようになる。目安 80分

  1. 極座標での変数分離 — 円周の値から円板内を作るプレミアム
  2. ポアソン核と円膜の振動 — 境界平均からベッセル関数へプレミアム

第10章　総合演習

第1〜9章の方程式・データ・解法を対応させ、分類・厳密解・境界値問題・数値安定性を横断する問題を自力で解けるようになる。目安 60分

  1. 総合演習 — 第1〜9章をつなぐプレミアム