偏微分方程式

熱・波動・ラプラス方程式の違いを時間発展の可視化で捉え、判別式 $b^2-4ac$ の符号で楕円・放物・双曲型を厳密に分類できるようになる。目安 80分

1. 1-1偏微分方程式の読み方無料
2. 1-2楕円・放物・双曲を見分ける無料

熱方程式が凹凸を均す仕組みを可視化で捉え、固有モード $\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t}$ が高波数ほど速く減衰することを厳密解で確かめる。目安 80分

1. 2-1熱方程式と拡散無料
2. 2-2熱方程式を解く — モードの減衰無料

ダランベール解 $f(x-ct)+g(x+ct)$ で波動方程式の有限速度伝播を理解し、固定端・自由端での反射を鏡像法(奇周期・偶周期拡張)で導けるようになる。目安 80分

1. 3-1波動方程式とダランベール解プレミアム
2. 3-2波動方程式を使う — 反射と定在波プレミアム

調和関数の平均値性を1次元の直線から体感し、格子上のGauss-Seidel緩和法とディリクレ問題の一意性・最大値原理を理解する。目安 80分

1. 4-1ラプラス方程式と調和関数プレミアム
2. 4-2境界値問題を解くプレミアム

変数分離法 $u=X(x)T(t)$ で固有値問題に帰着させ、フーリエ正弦級数の係数公式で任意の初期分布から解を組み立てられるようになる。目安 80分

1. 5-1変数分離法プレミアム
2. 5-2フーリエ級数で解を組むプレミアム

中心差分による差分法(FTCS法)で熱方程式を数値的に近似し、CFL条件 $r\le1/2$ を超えると数値解が発散する不安定性を体感する。目安 80分

1. 6-1差分法で近似するプレミアム
2. 6-2数値安定性とCFL条件プレミアム

移流方程式を特性曲線上の常微分方程式へ変換し、変数係数の流れと Burgers 方程式で特性線が交差して古典解が破綻する仕組みを説明できるようになる。目安 80分

1. 7-1一定速度の移流 — 形を変えずに運ぶプレミアム
2. 7-2曲がる特性線と交わる特性線 — 変数係数から衝撃波へプレミアム

全空間の熱核と初期値の畳み込みを可視化で捉え、フーリエ変換による導出と線形な非斉次問題のデュアメル公式を条件付きで使えるようになる。目安 80分

1. 8-1熱核 — ガウス分布で初期値を平均するプレミアム
2. 8-2フーリエ変換とデュアメルの原理 — 初期値と外力を重ねるプレミアム

円板のラプラス方程式を極座標で分離し、境界フーリエモードの調和拡張とポアソン積分を計算し、円膜でベッセル関数が現れる理由を説明できるようになる。目安 80分

1. 9-1極座標での変数分離 — 円周の値から円板内を作るプレミアム
2. 9-2ポアソン核と円膜の振動 — 境界平均からベッセル関数へプレミアム

第1〜9章の方程式・データ・解法を対応させ、分類・厳密解・境界値問題・数値安定性を横断する問題を自力で解けるようになる。目安 60分

1. 10-1総合演習 — 第1〜9章をつなぐプレミアム