定義・定理・公式まとめ

$u(x,t)$ など複数変数の関数の偏導関数を含む方程式

常微分方程式が1変数だったのに対し、位置と時刻など複数の変数に同時に依存する

$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=0$、判別式 $b^2-4ac$

2次曲線の分類(楕円・放物線・双曲線)と同じ判別式で、PDEの型が決まる

係数 $a,b,c$ が一定(または各点での局所的な値)の場合の分類。変数係数だと領域内で型が変わることもある

楕円型=ラプラス方程式、放物型=熱方程式、双曲型=波動方程式

楕円=定常、放物=拡散、双曲=伝播——時間発展のふるまいで対比できる

熱・波動方程式は初期条件、ラプラス方程式は境界条件だけで内部が決まる

時間微分の階数だけ初期条件が必要(熱=1つ、波動=位置と速度の2つ)

ラプラス方程式には時間変数がなく、初期条件という概念自体が存在しない

$u_t = \alpha u_{xx}$

まわりより凹んだ点は温まり、まわりより凸な点は冷める——凹凸を均す方程式

$u=\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t}$(固定端、$L=1$)

波打つ回数(波数)が多いモードほど、指数の中身が $n^2$ で効いて速く消える

この重ね合わせが厳密解になるのは方程式が線形・斉次かつ境界条件も斉次のとき(第5章)

理論上、初期分布の変化は瞬時に全域の値へ(たとえわずかでも)影響する

波動方程式の有限速度 $c$ とは対照的な性質——つまずきやすい注意点

差分法などの離散近似では1ステップごとに隣接点までしか伝わらず、この性質は連続極限で現れる

$\alpha$ が大きいほど同じ時刻での平滑化が速い

平滑化するという性質そのものは変えず、速さだけを変えるつまみ

$u_{tt} = c^2 u_{xx}$

熱方程式と違い時間について2階微分——初期条件が位置と速度の2つ必要になる

$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$

右へ進む波と左へ進む波の和。初期に静止した山は $f=g=h/2$ で半分ずつに分裂する

この形は1次元・無限領域(または鏡像法で拡張した有界領域)での一般解。多次元にはそのまま使えない

時刻 $t$ に点 $x$ へ届く影響は速さ $c$ 以内に限られる

熱方程式の無限伝播速度と対照的——情報は光のように速さの上限を持つ

固定端(ディリクレ、奇周期拡張)=符号反転、自由端(ノイマン、偶周期拡張)=符号保存

鏡像法で境界の外側に仮想の波を置くと、反射のしかたが境界条件の型で決まる

$\nabla^2u = u_{xx}+u_{yy} = 0$

熱方程式で時間が十分経ち、変化が止まった定常状態が満たす方程式

調和関数の値は、まわりの円周(2D)・球面(3D)上の値の平均に等しい

1次元では中点が両端の平均になるのと同じことが、高次元の円・球で成り立つ

内部の値は境界の最大値を超えず最小値を下回らない。境界値問題の解は一意

境界だけで内部のふるまいがすべて縛られる——極端な値は境界にしか現れない

いずれも有界な領域+適切な境界条件が与えられていることが前提。無限領域では成り立つとは限らない

$u_{i,j} \approx (u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1})/4$

平均値性を格子上でそのまま計算手順にしたもの(Gauss-Seidel緩和で反復収束させる)

$u(x,t)=X(x)T(t)$ を仮定し、$T'/T=\alpha X''/X=$ 定数 に分離する

変数ごとの式に分かれるのは、両辺が等しい定数でなければならないから

使えるのは方程式が線形・斉次かつ境界条件も斉次のときだけ。非斉次では定常解を引いてから適用する

$X''+\lambda X=0$、固定端境界で $\lambda_n=(n\pi/L)^2$、$X_n=\sin(n\pi x/L)$

境界条件が離散的な固有値の列を選び出す——弦の固有振動数と同じ発想

$u=\sum_n b_n\sin(n\pi x/L)e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$

方程式が線形だから、モードごとの解をそのまま足し合わせれば一般解になる

$b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L u_0(x)\sin(n\pi x/L)\,dx$

sinどうしの直交性により、初期分布に含まれる各モードの量をちょうど取り出せる

不連続な初期分布では、係数を使った部分和の収束が角の付近で遅くなる(ギブス現象)

$u_{xx} \approx (u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/\Delta x^2$

2階微分を、両隣と自分の値だけを使った引き算で近似する

$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$、$r=\alpha\Delta t/\Delta x^2$

各点の次の値は、その点と両隣の現在の値だけで決まる局所的な更新

$r=\alpha\Delta t/\Delta x^2 \le 1/2$

この境目を超えると、丸め誤差ではなく方法そのものの性質として振動的に発散する

$\nu=c\Delta t/\Delta x \le 1$

熱と同じ「刻みすぎ注意」でも、条件式の形は違う($\Delta x$ が1乗)

熱方程式は $\Delta x$ の2乗、波動方程式は $\Delta x$ の1乗——方程式の型(放物型・双曲型)の違いが数値解法にも現れる