定義・定理・公式まとめ

$u(x,t)$ など複数変数の関数の偏導関数を含む方程式

常微分方程式が1変数だったのに対し、位置と時刻など複数の変数に同時に依存する

$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=0$、判別式 $b^2-4ac$

2次曲線の分類(楕円・放物線・双曲線)と同じ判別式で、PDEの型が決まる

係数 $a,b,c$ が一定(または各点での局所的な値)の場合の分類。変数係数だと領域内で型が変わることもある

楕円型=ラプラス方程式、放物型=熱方程式、双曲型=波動方程式

楕円=定常、放物=拡散、双曲=伝播。時間発展のふるまいで対比できる

熱・波動方程式は初期条件、ラプラス方程式は境界条件だけで内部が決まる

時間微分の階数だけ初期条件が必要(熱=1つ、波動=位置と速度の2つ)

ラプラス方程式には時間変数がなく、初期条件という概念自体が存在しない

$u_t = \alpha u_{xx}$

まわりより凹んだ点は温まり、まわりより凸な点は冷める。凹凸を均す方程式

$u=\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t}$(固定端、$L=1$)

波打つ回数(波数)が多いモードほど、指数の中身が $n^2$ で効いて速く消える

この重ね合わせが厳密解になるのは方程式が線形・斉次かつ境界条件も斉次のとき(第5章)

理論上、初期分布の変化は瞬時に全域の値へ(たとえわずかでも)影響する

波動方程式の有限速度 $c$ とは対照的な性質で、つまずきやすい注意点

差分法などの離散近似では1ステップごとに隣接点までしか伝わらず、この性質は連続極限で現れる

$\alpha$ が大きいほど同じ時刻での平滑化が速い

平滑化するという性質そのものは変えず、速さだけを変えるつまみ

$u_{tt} = c^2 u_{xx}$

熱方程式と違い時間について2階微分。初期条件が位置と速度の2つ必要になる

$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$

右へ進む波と左へ進む波の和。初期に静止した山は $f=g=h/2$ で半分ずつに分裂する

この形は1次元・無限領域(または鏡像法で拡張した有界領域)での一般解。多次元にはそのまま使えない

時刻 $t$ に点 $x$ へ届く影響は速さ $c$ 以内に限られる

熱方程式の無限伝播速度と対照的で、情報は光のように速さの上限を持つ

固定端(ディリクレ、奇周期拡張)=符号反転、自由端(ノイマン、偶周期拡張)=符号保存

鏡像法で境界の外側に仮想の波を置くと、反射のしかたが境界条件の型で決まる

$\nabla^2u = u_{xx}+u_{yy} = 0$

熱方程式で時間が十分経ち、変化が止まった定常状態が満たす方程式

調和関数の値は、まわりの円周(2D)・球面(3D)上の値の平均に等しい

1次元では中点が両端の平均になるのと同じことが、高次元の円・球で成り立つ

成立条件: 平均を取る閉円板・閉球が、その調和関数の定義域(調和領域)にすっぽり含まれていること

内部の値は境界の最大値を超えず最小値を下回らない。境界値問題の解は一意

境界だけで内部のふるまいがすべて縛られる。極端な値は境界にしか現れない

いずれも有界な領域+適切な境界条件が与えられていることが前提。無限領域では成り立つとは限らない

$u_{i,j} \approx (u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1})/4$

平均値性を格子上でそのまま計算手順にしたもの(Gauss-Seidel緩和で反復収束させる)

$u(x,t)=X(x)T(t)$ を仮定し、$T'/T=\alpha X''/X=$ 定数 に分離する

変数ごとの式に分かれるのは、両辺が等しい定数でなければならないから

積型解 X(x)T(t) を仮定すること自体は他の形の方程式でも試みられるが、得たモードを重ね合わせて解を組み立てられるのは方程式が線形・斉次かつ境界条件も斉次のとき。非斉次では定常解を引いてから適用する

$X''+\lambda X=0$、固定端境界で $\lambda_n=(n\pi/L)^2$、$X_n=\sin(n\pi x/L)$

境界条件が離散的な固有値の列を選び出す。弦の固有振動数と同じ発想

$u=\sum_n b_n\sin(n\pi x/L)e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$

方程式が線形だから、モードごとの解をそのまま足し合わせれば一般解になる

$b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L u_0(x)\sin(n\pi x/L)\,dx$

sinどうしの直交性により、初期分布に含まれる各モードの量をちょうど取り出せる

不連続な初期分布では、係数を使った部分和の収束が角の付近で遅くなる(ギブス現象)

$u_{xx} \approx (u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/\Delta x^2$

2階微分を、両隣と自分の値だけを使った引き算で近似する

$u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$、$r=\alpha\Delta t/\Delta x^2$

各点の次の値は、その点と両隣の現在の値だけで決まる局所的な更新

$r=\alpha\Delta t/\Delta x^2 \le 1/2$

この境目を超えると、丸め誤差ではなく方法そのものの性質として振動的に発散する

$\nu=c\Delta t/\Delta x \le 1$

熱と同じ「刻みすぎ注意」でも、条件式の形は違う($\Delta x$ が1乗)

熱方程式は $\Delta x$ の2乗、波動方程式は $\Delta x$ の1乗。方程式の型(放物型・双曲型)の違いが数値解法にも現れる

$u_t+c u_x=0$、$u(x,t)=u_0(x-ct)$

初期分布の形と高さを変えず、距離 $ct$ だけ平行移動させる

成立条件: $c\in\mathbb{R}$ が定数で全空間を考える。$u_0\in C^1$ なら古典解、$u_0\in L^1_{\mathrm{loc}}$ でも弱解として成り立つ。有限区間では流入境界値が別に必要

$x'(t)=c$ なら $\dfrac{d}{dt}u(x(t),t)=u_t+c u_x=0$

偏微分方程式を、値を運ぶ曲線上の常微分方程式へ変える

連鎖律を古典的に使うには $u$ が少なくとも1階微分可能であることが必要

$u_t+c(x)u_x=0$、$x'=c(x)$、$u(x(t),t)=u_0(\xi)$

場所ごとの速度場を常微分方程式で追えば、曲がった道筋の上でも値は保存される

$c$ が局所 Lipschitz 連続なら特性曲線の局所一意性が得られる。$c$ の正則性が弱い場合は別の解概念が必要になることがある

$u_t+u u_x=0$、$x=\xi+u_0(\xi)t$、$t_*=-1/\min u_0'$

右下がりの初期値では後ろの速い特性線が前へ追いつき、勾配が発散する

成立条件: $u_0\in C^1$ で $\min u_0'<0$ が達成される場合の最初の古典解破綻時刻。交差後の弱解を一意に選ぶにはエントロピー条件が必要

$G_t(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}\exp\left(-\dfrac{x^2}{4\kappa t}\right)$

1点の単位量が時刻 $t$ にどう広がるかを表す、面積1のガウス密度

成立条件: 全空間 $\mathbb{R}$、$\kappa>0$、$t>0$。平均0、分散 $2\kappa t$ で、$t\downarrow0$ ではデルタ関数へ分布の意味で近づく

$u(x,t)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}}G_t(x-y)u_0(y)\,dy=(G_t*u_0)(x)$

初期値の各点から広がった熱を、位置全体について足し合わせる

$u_0\in L^1(\mathbb{R})$ なら畳み込みが mild solution を定め、$G_t*u_0\to u_0$ は $L^1$ および Lebesgue 点で成り立つ。古典解には追加の正則性を課す

$\partial_t\widehat u=-\kappa\xi^2\widehat u$、$\widehat u(\xi,t)=e^{-\kappa\xi^2t}\widehat u_0(\xi)$

空間の2階微分を周波数ごとの掛け算へ変え、独立な指数減衰として解く

古典的な導出では、例えば $u_0$ を Schwartz 級として変換・微分・逆変換を正当化する。$L^1$ などへの拡張は密度や半群の議論で行う

$u(t)=G_t*u_0+\displaystyle\int_0^t G_{t-s}*f(s)\,ds$

時刻 $s$ に加わった外力を残り時間 $t-s$ だけ発展させ、過去すべてを足す

成立条件: 方程式と境界条件が線形であること。例えば $u_0\in L^1$ かつ $\displaystyle\int_0^T\lVert f(s)\rVert_{L^1}\,ds<\infty$ なら mild solution として解釈できる

$\Delta u=u_{rr}+\dfrac{1}{r}u_r+\dfrac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$

円板の境界に座標を合わせると、角度方向はフーリエモードに分かれる

$r=0$ では式に見かけ上の特異項があるため、原点で有限かつ滑らかな解を選ぶ正則性条件が必要

単位円板で $r^n\left(A_n\cos n\theta+B_n\sin n\theta\right)$、$n\ge1$

境界の第 $n$ モードは内部へ入るほど $r^n$ 倍され、高いモードから弱まる

原点を含む円板では $r^{-n}$ と $\log r$ を正則性のため除く。半径 $R$ なら $r^n$ を $\left(r/R\right)^n$ に置き換える

$u(r,\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}P_{r/R}(\theta-\varphi)f(\varphi)\,d\varphi$

内部点から見た境界値を、正で総和1の重みによって平均する

$P_\rho(\psi)=\left(1-\rho^2\right)/\left(1-2\rho\cos\psi+\rho^2\right)$。成立条件: $0\le r<R$ かつ円周上で連続な境界値 $f$。境界値は $r\uparrow R$ の極限で回収する

$r^2F''+rF'+\left(k^2r^2-n^2\right)F=0$、$F(r)=J_n(kr)$

円板の波動では、区間の正弦関数に対応する半径方向の固有関数がベッセル関数になる

原点で有限な第1種ベッセル関数を選ぶ。固定端 $r=R$ では $J_n(kR)=0$ を満たす零点だけが固有振動数を与える

移流 $u_0(x-ct)$、波動 $f(x-ct)+g(x+ct)$、熱 $G_t*u_0$

移流は形を保存し、波動は有限速度で分かれ、熱はガウス平均で平滑化する

それぞれ全空間での代表公式。有限領域では流入条件、反射条件、熱の境界条件を別に指定する必要がある

格子の4近傍平均と、円板のポアソン積分

領域の形に合わせて計算表現を選んでも、調和関数の平均値性は共通している

一意なディリクレ解を述べるには、例えば有界領域・連続な境界値・適切な境界正則性を仮定する

固有モードの和、熱核の畳み込み、デュアメル積分

線形方程式では、単純な応答を空間・周波数・時間について足して一般のデータへ対応する

非線形 Burgers 方程式では一般の重ね合わせは使えず、特性線交差後にはエントロピー弱解が必要になる