熱方程式を解く — モードの減衰

前レッスンで見た「平滑化」を、実際に式で解いて確かめます。境界を固定端( $u(0,t)=u(1,t)=0$ ) とすると、 $\sin(n\pi x)$ の形の初期分布は特別です——形を変えずに、ただ振幅だけが減衰します:

u(x,t) = \sin(n\pi x)\,e^{-\alpha(n\pi)^2 t}

これは代入すればすぐ確かめられます: $\partial_x^2\sin(n\pi x)=-(n\pi)^2\sin(n\pi x)$ なので、両辺を微分すると $u_t=\alpha u_{xx}$ をぴったり満たします(近似ではなく厳密解です)。

触ってみる — 高波数ほど速く消える

モード $n=1$ (青)と $n=3$ (橙)の振幅を別々に設定し、時間を再生してください。 $n=3$ の方が常に速く0へ近づくのが見えます。

t0.00

振幅 A₁(n=1、青)1.0振幅 A₂(n=3、橙)0.6拡散係数 α0.30

減衰係数:

n=1

は

e^{-\alpha\pi^2 t}=1.000

、

n=3

は

e^{-\alpha(3\pi)^2 t}=1.000

— 高波数(n=3)の方が常に速く0へ近づきます

種明かし — 指数の中の $n^2$ が効く

減衰の速さを決める指数は $-\alpha(n\pi)^2 t$ 。 $n$ が3倍になれば指数の中身は9倍—— 波打つ回数が多い(=空間的に速く変化する=凹凸が急な)モードほど、 $u_{xx}$ が大きくなり、速く均されるのです。これは前レッスンの「凹凸が急なほど速く平滑化する」の定量版です。

一般の(単一モードでない)初期分布は、フーリエ正弦級数として複数のモードの和に分解でき、 各モードは独立にこの指数で減衰します(次章で組み立て方を扱います)。

試してみよう

$A_1=A_2=1$ にして再生すると、橙(n=3)が先にほぼ消え、青(n=1)だけが残る様子が見えます
$\alpha$ を大きくすると、両方の減衰が速くなりますが、差( $n=3$ が先に消える)はそのままです

理解チェック

なぜ「高波数=速く減衰」が拡散の平滑化と同じ現象なのか?

角のある(不連続に近い)初期分布は、フーリエ級数で見ると高波数の成分をたくさん含んでいます。時間が経つとその高波数成分から先に消えるので、残った低波数成分(なめらかな形)だけが残る ——これが「角が丸まる」ことの正体です。

確認問題

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 2

モード $\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t}$ で、 $n$ を2倍にすると減衰の指数の中身は何倍になりますか?

確認 2 / 2

$u=\sin(n\pi x)e^{-\alpha(n\pi)^2t}$ が熱方程式の解であることは、どうやって確かめられますか?

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Strauss『Partial Differential Equations: An Introduction』(Wiley) / Haberman『Applied Partial Differential Equations』(Pearson) / 俣野博・神保道夫『熱・波動と微分方程式』(岩波)

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