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楕円・放物・双曲を見分ける — 判別式1つで分類する

前レッスンで見た3つの型は、実は2階線形PDEの標準形を1つ書けば統一的に分類できます:

$$a\,u_{xx} + b\,u_{xy} + c\,u_{yy} = (\text{低階の項}) = 0$$

この係数 $a,b,c$ から作る判別式 $b^2-4ac$ の符号だけで、型が決まります (2次曲線 $ax^2+bxy+cy^2=$ 定数 の分類——楕円・放物線・双曲線——とまったく同じ判別式です)。

$$b^2-4ac < 0 \Rightarrow \text{楕円型}, \quad b^2-4ac = 0 \Rightarrow \text{放物型}, \quad b^2-4ac > 0 \Rightarrow \text{双曲型}$$

触ってみる — スライダーで係数を動かして分類する

$a,b,c$ を動かして、判別式の符号がどう変わるか、型のラベルがどう切り替わるか確かめてください。

a1b0c1

$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=0$、$a=1,\ b=0,\ c=1$

$b^2-4ac = -4$ → 楕円型

楕円型の例: ラプラス方程式 $u_{xx}+u_{yy}=0$($a=c=1,b=0$)

放物型の例: 熱方程式 $u_t=\alpha u_{xx}$(時間を$y$と見て$a=1,b=0,c=0$)

双曲型の例: 波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$($a=1,b=0$、$y$方向の係数は$-1/c^2$相当)

種明かし — 3つの代表方程式との対応

• ラプラス方程式 $u_{xx}+u_{yy}=0$: $a=1,b=0,c=1$ で $b^2-4ac=-4<0$ → 楕円型
• 熱方程式 $u_t=\alpha u_{xx}$: 時間を2つ目の変数と見ると1階微分しか含まないため上の標準形には 収まりませんが、極限として「退化した放物線」の型に対応し、慣習的に放物型と呼びます
• 波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$: $a=1$(tについて)、$c=-c^2$(xについて、符号に注意)で $b^2-4ac=4c^2>0$ → 双曲型

この分類は**係数が一定(または各点で評価した局所的な値)**の場合の話です。係数が変数 ($a(x,y)$ など)だと、領域内で型が変わる(遷音速流れの方程式などが典型例)こともあります。

試してみよう

• $a=1,b=0,c=1$(ラプラス)にしてから、$b$ を少しずつ増やして判別式が0を超える瞬間を探してください
• $a=1,c=1,b=2$ にすると判別式はちょうど0(放物型)——$b=2\sqrt{ac}$ が境目です

理解チェック

判別式 $b^2-4ac$ という式、どこかで見覚えは?

2次方程式の解の公式に出てくる判別式と同じ形です。実は2次曲線 $ax^2+bxy+cy^2=1$ の分類 (楕円・放物線・双曲線)にもまったく同じ判別式が使われます。PDEの分類は、この代数の話を 微分作用素に置き換えただけなのです。

確認問題

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 2

$a=2,\ b=4,\ c=1$ のとき、判別式 $b^2-4ac$ の値はいくつですか?

答え

±

確認

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確認 2 / 2

判別式が正のとき、方程式はどの型に分類されますか?

双曲型放物型楕円型

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Strauss『Partial Differential Equations: An Introduction』(Wiley) / Haberman『Applied Partial Differential Equations』(Pearson) / 俣野博・神保道夫『熱・波動と微分方程式』(岩波)

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