楕円・放物・双曲を見分ける — 判別式1つで分類する

前レッスンで見た3つの型は、実は2階線形PDEの標準形を1つ書けば統一的に分類できます:

$$a\,u_{xx} + b\,u_{xy} + c\,u_{yy} = (\text{低階の項}) = 0$$

この係数 $a,b,c$ から作る判別式 $b^2-4ac$ の符号だけで、型が決まります(一般二次曲線 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ の分類(楕円・放物線・双曲線、退化例を除く)と同じ判別式です。線形項のない純二次形式 $ax^2+bxy+cy^2=k$ だけだと、$b^2-4ac=0$ は放物線ではなく平行2直線などへ退化するので注意してください)。

$$b^2-4ac < 0 \Rightarrow \text{楕円型}, \quad b^2-4ac = 0 \Rightarrow \text{放物型}, \quad b^2-4ac > 0 \Rightarrow \text{双曲型}$$

触ってみる — スライダーで係数を動かして分類する

$a,b,c$ を動かして、判別式の符号がどう変わるか、型のラベルがどう切り替わるか確かめてください。

a1b0c1

$au_{xx}+bu_{xy}+cu_{yy}=0$、$a=1,\ b=0,\ c=1$

$b^2-4ac = -4$ → 楕円型

楕円型の例: ラプラス方程式 $u_{xx}+u_{yy}=0$($a=c=1,b=0$)

放物型の例: 熱方程式 $u_t=\alpha u_{xx}$(時間を$y$と見て$a=1,b=0,c=0$)

双曲型の例: 波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$($a=1,b=0$、$y$方向の係数は$-1/c^2$相当)

種明かし — 3つの代表方程式との対応

• ラプラス方程式 $u_{xx}+u_{yy}=0$: $a=1,b=0,c=1$ で $b^2-4ac=-4<0$ → 楕円型
• 熱方程式 $u_t=\alpha u_{xx}$($\alpha>0$): 1階の $u_t$ を低階項(最高階=2階に満たない項)とみなせば、2階の項だけを集めた主部の係数が $(a,b,c)=(\alpha,0,0)$ の2階PDEです。判別式 $b^2-4ac=0$ がちょうど成り立つので、厳密に放物型に分類されます(慣習や極限ではありません)。$\alpha=0$ だと2階の項自体が消え、この分類の前提が成り立ちません
• 波動方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$: $a=1$(tについて)、$c=-c^2$(xについて、符号に注意)で$b^2-4ac=4c^2>0$ → 双曲型

この分類は係数が一定(または各点で評価した局所的な値)の場合の話です。係数が変数($a(x,y)$ など)だと、領域内で型が変わる(遷音速流れの方程式などが典型例)こともあります。

試してみよう

• $a=1,b=0,c=1$(ラプラス)にしてから、$b$ を少しずつ増やして判別式が0を超える瞬間を探してください
• $a=1,c=1,b=2$ にすると判別式はちょうど0(放物型)、$b=2\sqrt{ac}$ が境目です

理解チェック

判別式 $b^2-4ac$ という式、どこかで見覚えは?

2次方程式の解の公式に出てくる判別式と同じ形です。一般二次曲線 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ の分類(楕円・放物線・双曲線、退化例を除く)にも同じ判別式が使われます(線形項のない$ax^2+bxy+cy^2=1$ だけだと $b^2-4ac=0$ は放物線でなく、係数の符号に応じて平行2直線または空集合に退化するので注意)。PDEの分類は、この代数の話を微分作用素に置き換えただけなのです。

確認問題

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 2

$a=2,\ b=4,\ c=1$ のとき、判別式 $b^2-4ac$ の値はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 2

判別式が正のとき、方程式はどの型に分類されますか?

双曲型放物型楕円型

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操作チャレンジ — 図で解く1問