フーリエ解析

波を足すと形が生まれ、内積で波を取り出せる。フーリエ級数から変換・FFTまで、三角関数と射影の合流点。

到達目標: フーリエ級数の係数を内積(射影)として導出し、フーリエ変換・離散フーリエ変換(DFT/FFT)まで計算できるようになる。
初回閲覧の目安: 約5時間(全14レッスン)操作・計算演習・復習まで含めた習熟には、これ以上かかります。
対応教科書: 『なっとくするフーリエ変換』(講談社) Amazonで見る ↗谷川明夫『フーリエ解析入門第2版』(共立出版) Amazonで見る ↗『手を動かしてまなぶフーリエ解析・ラプラス変換』(裳華房) Amazonで見る ↗※ 上記は Amazon アソシエイトのリンクを含みます。

このコースの前提

高校数学の学び直しの内容(特に第3章三角関数 — 単位円が波を生む)を前提にします。不安があれば先に確認してください。
高校の三角関数・単位円と波の重ね合わせが、そのままフーリエ級数の入口になる。
微積分(大学)の内容を前提にします。不安があれば先に確認してください。
積分を内積とみなすと、どんな波もサイン・コサインの成分に分解できる。

定義・定理・公式まとめ

体感したレッスンから引ける、知識の地図です。

何度でも新しい数値で練習できます。

第1章　波の重ね合わせ — sin波を足すと形が生まれる

sin波を足し合わせると新しい形が生まれることを体験し、矩形波・ノコギリ波が倍音の重ね合わせで近似できることを確かめる。目安 40分

フーリエ係数が三角関数との内積(射影)として計算できることを理解し、オイラーの公式で実フーリエ級数を複素フーリエ級数にまとめられるようになる。目安 40分

不連続点でのフーリエ級数の収束がギブス現象を伴うことを確かめ、関数のなめらかさと係数の減衰の速さの対応関係を理解する。目安 60分

周期を無限に伸ばす極限としてフーリエ変換を導き、時間幅と周波数幅が反比例する不確定性の関係を扱えるようになる。目安 40分

サンプリング定理とエイリアシングの仕組みを理解し、離散フーリエ変換(DFT)で有限個のデータから周波数成分を取り出せるようになる。目安 40分

フーリエ変換が音のイコライザ・フィルタや画像の高周波圧縮にどう使われるかを理解し、周期成分の検出やCNNとのつながりまで見渡せるようになる。目安 60分