波を足すと形が生まれる

「サイン・コサインは何の役に立つのか」。フーリエ解析は、この問いに正面から答えます。答えを一言でいうと——広いクラスの周期的な形は、単純な波の足し算で作れる(どこまで「すべて」と言えるかは、収束の意味を含めて第3章で詰めます)。

高校数学コース第3章で、単位円を回すと $\sin$ 波が生まれるのを指で確かめました。まずその図を思い出すところから始めます。

θ = 1.05 rad(60.00°) / sinθ = 0.87 — 赤い点を何周でも回してみてください

赤い点を回すと、高さ( $y$ 座標)が右へ流れて波になる。周波数の違う波は、回す速さの違う点から生まれます。

触ってみる — 2つの波を重ねる

ここからが新しい話です。周波数の違う2つの $\sin$ 波を足すと、何が起きるでしょうか。

第1波の振幅1.00第2波の周波数 n2第2波の振幅0.60

青 + 橙 = 藍。周波数の違う波を重ねると、もう単純な sin ではない形が生まれる

青い波(基本波)と橙の波(何倍かの速さの波)を足すと、藍色の合成波になります。もう単純な $\sin$ の形ではありません。山にこぶができたり、平らになったり—— 足す波の周波数と量を変えるだけで、いろいろな形が現れます。

この逆問題こそフーリエ解析の本題です。第2章で「係数=どれだけ含まれているか」を取り出す方法を作ります。

周波数の同じ $\sin$ 波を2本足すと、形はどうなるでしょうか。

答えを見る

同じ周波数の波を足しても、振幅と位相が変わるだけで周波数は変わりません( $\sin$ のまま)。新しい形が生まれるのは、違う周波数を混ぜたときだけ。だからフーリエ解析は「周波数の違う波」を素材に選びます。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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