波を足すと形が生まれる

「サイン・コサインは何の役に立つのか」。フーリエ解析はこの問いに答えます。 広いクラスの周期的な形は、単純な波の足し算で作れる(どこまで「すべて」と言えるかは、収束の意味を含めて第3章で詰めます)。

高校数学コース第3章で、単位円を回すと $\sin$ 波が生まれるのを指で確かめました。 まずその図を思い出すところから始めます。

$\sin\theta$$\cos\theta$

$\theta$

現在の角度は 1.05 ラジアン、60.00 度です。単位円上の座標 (cos, sin) は (0.50, 0.87) です。現在表示している正弦の値は 0.87 です。

赤い点を回すと、高さ($y$ 座標)が右へ流れて波になる。周波数の違う波は、回す速さの違う点から生まれます。

触ってみる — 2つの波を重ねる

ここからが新しい話です。周波数の違う2つの $\sin$ 波を足すと、何が起きるでしょうか。

第1波の振幅1.00第2波の周波数 n2第2波の振幅0.60

青い波(基本波)と橙の波(何倍かの速さの波)を足すと、藍色の合成波になります。 もう単純な $\sin$ の形ではありません。山にこぶができたり、平らになったりします。 足す波の周波数と量を変えるだけで、いろいろな形が現れます。

いま何が起きたのか

• 波を「重ねる」とは、各点で高さを足すこと。ベクトルの足し算と同じで、成分ごとに加える
• 足す波の周波数(何倍の速さか)と振幅(どれだけの量か)が、合成波の形を決める(ここでは位相をそろえて $\sin$ だけを足しています。一般には位相=波の横ずれも第3の要素で、第2章の複素係数がこれをまとめて扱います)
• 逆に問いを立てられます。「では、目標の形を先に決めたら、どんな波を何倍ずつ足せばいい?」

この逆問題こそフーリエ解析の本題です。第2章で「係数=どれだけ含まれているか」を取り出す方法を作ります。

試してみよう

• 第2波の周波数を上げると、合成波の「さざなみ」が細かくなる
• 第2波の振幅を $0$ にすると、当然もとの $\sin$ 波に戻る
• 2倍音(基本の波の $2$倍の周波数を持つ波。整数倍の周波数の波を倍音と呼びます)を強くすると、偶数倍音の働きで山と谷が左右非対称になります

理解チェック

周波数の同じ $\sin$ 波を2本足すと、形はどうなるでしょうか。

答えを見る

同じ周波数の波を足しても、振幅と位相が変わるだけで周波数は変わりません($\sin$ のまま)。 新しい形が生まれるのは、違う周波数を混ぜたときだけ。だからフーリエ解析は「周波数の違う波」を素材に選びます。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

周波数の違う2つの$\sin$波を足したとき、合成波の形を決めるのは何と何ですか?

足す波の周波数と振幅観測する時刻だけ足す波の色と長さ足す波の本数だけ(周波数は無関係)

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確認 2 / 3

周波数が同じ$\sin$波を2本足すと、形はどうなりますか?

周波数が2倍になる新しい高調波が生まれて矩形波になる振幅と位相が変わるだけで、周波数は変わらず $\sin$ のまま必ず打ち消し合って 0 になる

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確認 3 / 3

波を「重ねる(合成する)」とは、具体的にどんな操作ですか?

速い方の波だけを残す各点で高さを掛け合わせる各点で高さ(y座標)を足し合わせる2つの波を交互に並べる

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