定義・定理・公式まとめ

$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$

正弦波・余弦波を無限に足し合わせると、周期的な任意の形が作れる

$f=f_1+f_2$ の係数は、$f_1$ と $f_2$ それぞれの係数をそのまま足したもの

2つの波を足した合成波の係数は、各波の係数を別々に計算して最後に足すだけで求まる

係数を取り出す操作(第2章の内積)が線形だから成り立つ

$b_n=\dfrac{4}{n\pi}\ (n\text{が奇数})$、$b_n=0\ (n\text{が偶数})$、$a_n=0$(すべての $n$)

矩形波は奇関数だから cos 成分($a_n$)はすべて消え、sin の奇数次だけが残る

振幅1・周期 $2\pi$ の矩形波の場合。振幅が変われば係数も比例して変わる

部分和 $S_N(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ は、$f$ が区分的に滑らかなら連続点で $f(x)$、跳躍点で左右極限の平均 $\dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ に収束する

項を足すほど輪郭がくっきりし、目標の波形のシルエットに近づいていく

$L^2$ 関数ならまず平均二乗($L^2$)収束。各点収束には区分的 $C^1$ 等の条件が要り、跳躍点では左右極限の平均へ収束し、その近傍にはギブス振動が残る(第3章)

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$

掛けて積分する操作が、線形代数第8章の射影とまったく同じ計算になっている

$\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx$

ベクトルの内積を、関数どうしの掛けて積分する操作に置き換えただけ

$m\neq n$ のとき $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=0$、$m=n$ のとき $\pi$。$\sin$ と $\cos$ の積は常に $0$

違う周波数どうしは掛けて積分すると相殺して消え、狙った周波数だけが生き残る

積分区間 $[-\pi,\pi]$ が前提。$\sin(mx)\cos(nx)$ は奇関数×偶関数=奇関数なので、$m,n$ によらず積分は常に $0$

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

単位円上を角度 $\theta$ だけ回った点を、複素数1つで表している

$f(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx},\quad c_n=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx$

cos と sin の2種類の係数が、複素数 $c_n$ という1種類にまとまる

$f(x)$ が実数値のとき $c_{-n}=\overline{c_n}$(複素共役)。等号は適切な収束の意味で成り立つ($L^2$ 収束、区分的 $C^1$ なら各点収束・跳躍点は左右極限の平均)

区分的に滑らか(区分的に連続かつ区分的に微分可能)な $f$ のフーリエ級数は各点で収束する

なめらかな点ではその値に、跳んでいる点では左右の平均値に落ち着く

不連続点では $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$(右極限と左極限の平均)に収束する。ディリクレ条件を満たさない関数では一般には成り立たない

オーバーシュートの高さは $\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{\sin t}{t}\,dt\approx 1.17898$ に収束(跳躍量に対して約8.9%)

項数 $N$ を増やしても行き過ぎの高さは消えず、ツノの幅だけが跳躍点に向かって狭くなる

不連続点を持つ関数に共通する現象。跳躍の大きさによらず超過率は約8.9%で普遍

不連続(矩形波)→ $1/n$、連続だが角あり(三角波)→ $1/n^2$、$C^\infty$ →どんな $1/n^k$ よりも速い

なめらかさが1段上がるごとに、係数の減衰は $1/n$ の分だけ速くなる

具体例の比較。連続なだけでは $1/n^2$ は保証されず、次数を上げるには周期端点での整合(周期的接続の滑らかさ)と導関数の可積分性・有界変動などが要る

$\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx=\dfrac{a_0^2}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)$

時間側で測ったエネルギー(2乗の平均)と、周波数側で測ったエネルギー(係数の2乗和)が一致する

$f$ が2乗可積分(有限エネルギー)であることが前提

各点収束: 各 $x$ で $N\to\infty$ のとき値が一致 / 一様収束: 誤差の上限が $N$ だけで一斉に $0$ に近づく

矩形波は各点では正しく収束するが、不連続点の近くには常にツノが残るため一様収束はしない

ギブス現象はまさに一様収束が破れる典型例

$F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$

非周期の波を、あらゆる周波数成分の重ね合わせとして書き直す

$f$ が絶対可積分($\int|f(t)|dt<\infty$)であれば存在が保証される

$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$

周波数の顔から時間の顔へ行き来できる

この逆積分が各点でそのまま使えるのは $f,F$ がともに可積分などの条件下。一般の $L^2$ では Plancherel の意味($L^2$ 収束)で反転が成り立つ

周期 $T\to\infty$ で周波数間隔 $\dfrac{2\pi}{T}\to 0$、和 $\sum$ が積分 $\int$ に置き換わる

とびとびの倍音の間隔が詰まっていき、連続スペクトルに変わる

ガウス波形 $e^{-t^2/2\sigma^2}$ では、形状パラメータの時間幅 $\sigma$ と周波数幅 $1/\sigma$ が反比例する

時間で細くするほど周波数では広がる。同時にどちらも細くはできない

$\sigma,1/\sigma$ は形状の目安。エネルギー分布 $|f|^2,|F|^2$ の標準偏差で測ると $\Delta t=\sigma/\sqrt2$、$\Delta\omega=1/(\sqrt2\sigma)$ で積は $\Delta t\,\Delta\omega=1/2$。一般には $\Delta t\,\Delta\omega\ge1/2$ で、等号を達成するのがガウス波形

時間領域のたたみ込み $(f*g)(t)$ ↔ 周波数領域の積 $F(\omega)G(\omega)$

面倒な畳み込み積分が、周波数側ではただの掛け算に化ける

帯域制限信号($\leq f_{\max}$)を復元できる条件は $f_s>2f_{\max}$。ナイキスト周波数 $=f_s/2$

サンプリング間隔が粗すぎると、元の波形は二度と復元できない

$f$ が帯域制限(最大周波数 $f_{\max}$ 以下)であることが前提。破れるとエイリアシングが起きる

サンプリング周波数不足の高周波成分は、見かけ上ナイキスト周波数の内側に折り返って現れる

速く回る扇風機の羽根が、カメラのコマ落ちで逆回転に見える現象と同じ構造

$X_k=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-i2\pi kn/N}\quad(k=0,\ldots,N-1)$

連続の積分だった変換を、N個のサンプル点での有限和に置き換えたもの

$X_{k+N}=X_k$(すべての $k$ について)

N個のサンプルからは、周波数もN個分しか見分けがつかない

これもナイキスト周波数の折り返し(エイリアシング)と同じ現象の別の顔

DFTの直接計算は $O(N^2)$、高速フーリエ変換(FFT)は $O(N\log N)$

Nが大きいほど差は歴然。$N=1024$ ならおよそ100倍以上速くなる

代表的なCooley-Tukey型FFTは $N$ が2の冪(または高度合成数)のとき効率よく分割できる

ローパス: $|\omega|<\omega_c$ を通す / ハイパス: $|\omega|>\omega_c$ を通す

イコライザのつまみは、周波数ごとの通し方を直接操作している

フィルタ処理 $y=h*x$ は、周波数領域では $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ の掛け算だけで済む

時間領域の面倒な畳み込みを避け、周波数領域で掛け算するだけでフィルタが作れる

画像を2次元フーリエ変換し、上位の低周波成分だけを残して逆変換すると近似画像が得られる

輪郭(急な変化)は高周波、なだらかな濃淡は低周波。高周波を削っても大まかな形は残る

高周波を捨てるほど圧縮率は上がるが、輪郭(エッジ)がぼやける

信号を短い窓で区切り、それぞれにフーリエ変換をかけて時間×周波数の2次元表現を作る

時刻ごとにどの周波数が鳴っているかを、楽譜のように可視化する

窓を短くすると時間分解能は上がるが周波数分解能は落ちる(第4章の不確定性原理そのもの)