収束とギブス現象

第1章で「項を増やすほど元の形に近づく」と体験しました。これは正しい。 でも不連続な形(矩形波の角)では、素朴な直感が裏切られる場所があります。 項をいくら増やしても消えないツノ。ギブス現象を触って確かめます。

どこへ収束するか

ここで扱う矩形波のような区分的になめらかな関数では、フーリエ級数は各点で収束します(一般の関数で常に各点収束するとは限りません。収束の意味こそがこの章の主題です)。なめらかな場所では、部分和は項を増やすほど元の値にぴったり近づく。 問題は不連続点です。矩形波が $+1$ から $-1$ へ跳ぶ点で、級数はどちらの値に収束するでしょうか。

答えは両側の平均値。跳躍の上端 $+1$ と下端 $-1$ の中点、つまり $0$ に落ちます。 関数の値そのものではなく、左右から見た値の真ん中に着地します。微積分コース第3章の各点収束の話が、ここで波の姿で再登場します。

触ってみる — ギブス現象ズーム

不連続点(矩形波の跳躍)を拡大しました。項数 $N$ を上げてみてください。

項数 N6

角のところに、目標(高さ $1$)を行き過ぎるツノが立っています。$N$ を大きくしても、 このツノの高さは約 $8.9\%$(跳躍全体に対して)残ったまま。幅だけが狭くなって、高さは消えない。

種明かし — なぜ消えないのか

これがギブス現象です。ツノの高さは、次の定数(ギブス定数)に収束します:

$$\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt \approx 1.17898$$

単位振幅の矩形波なら、部分和のピークは約 $1.179$ まで届く。$N$ をどれだけ増やしても、 このピークの高さは変わらず、ツノが跳躍点に近づいていくだけです。

• 各点では収束するが、全体として一様には近づかない(どこかに必ずツノが残る)
• 収束の「近づき方」には強弱があり、なめらかな場所は速く、不連続点の近くは頑固です
• 実務では、この行き過ぎが画像や音の「リンギング」(エッジ周りの波打ち)として現れます

試してみよう

• $N$ を $10 \to 50$ と上げると、ツノの位置が跳躍点 $x=\pi$ へじりじり寄る。高さは動かない
• ツノの高さ約 $8.9\%$ は、矩形波でも他の不連続な波でも同じ普遍定数。跳躍の大きさに比例します

理解チェック

「項を無限に足せば、矩形波と完全に一致する」。この主張は正しいでしょうか。

答えを見る

正しくありません。連続点では関数の値に一致し、不連続点そのものでは左右極限の平均に収束します (ディリクレの収束定理)。さらに、不連続点のすぐ近くには常にツノが残ります。これがギブス現象で、 「どの点でも誤差が一斉に小さくなる」という一様収束は成り立ちません。左右極限の平均への収束(不連続点での話)と ギブス現象(不連続点の近くのツノ)は別の事実で、この区別が収束論の入口です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

矩形波が $+1$ から $-1$ へ跳ぶ不連続点で、フーリエ級数はどの値に収束しますか?

無限大に発散する両側の平均値、つまり $0$跳んだ後の値 $-1$跳ぶ前の値 $+1$

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確認 2 / 3

ギブス現象のツノの高さは、跳躍全体の大きさに対して約何パーセント残りますか?(数値のみ、単位%は不要)

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

項数 $N$ を大きくしていくと、ギブス現象のツノはどうなりますか?

高さも幅もゼロに近づいて完全に消える高さがどんどん増えて発散する高さは変わらず、幅が狭くなって跳躍点へ寄っていく位置は動かず、高さだけ半分になる

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