項数を増やして矩形波に近づける

ウォームアップ — 第3章の振り返り

問1 / 1

問1・現在

リセット

単位円の点をドラッグして、$\sin\theta = -1$ になる場所へ移動してください。

$\sin\theta = 0.00$(目標 −1.00)

前のレッスンで、周波数の違う波を足すと新しい形が生まれるのを見ました。 では波をどんどん足していったら、カクカクの形まで作れるのでしょうか。 このコースの看板、項数スライダーで確かめます。

触ってみる — 項数スライダー

矩形波・ノコギリ波・三角波を選び、足す $\sin$ の本数 $N$ を増やしてください。 藍色の合成波が、みるみる目標の形(緑)に寄っていきます。

矩形波ノコギリ波三角波

項数 N3

各成分の波(細い線)を重ねて表示

矩形波なら奇数倍音($\sin x,\ \sin 3x,\ \sin 5x,\dots$)を $\dfrac{4}{\pi}\cdot\dfrac{1}{n}$ の量で足す。 ノコギリ波なら全部の倍音を $\dfrac{1}{n}$ の量で足す。項を増やすほど、角ばった形が姿を現します。

いま何が起きたのか

足し上げている式は、次の形をしています(高校数学コース第6章の $\Sigma$ = 足し上げ):

$$S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} b_n \sin(nx)$$

矩形波の係数は $b_n = \dfrac{4}{\pi n}$(奇数 $n$ のみ、偶数は $0$)。これは天下りに与えたのではなく、 第2章で「内積で取り出す」と自然に出てきます。いまは足したら形になったという体験が主役です。

• カクカクの角を作るには、高い周波数(細かい波)まで必要。角の鋭さは高周波が担う
• 係数 $1/n$ は、周波数が上がるほど波の量が減るという意味。だから遠い高周波は効きが小さい
• 成分をチェックで表示すると、細い波がどう積み上がって角を作るかが見えます

なぜ矩形波は奇数倍音だけなのか

矩形波は「半周期ずらすと符号が反転する」対称性を持ちます。偶数倍音はこの対称性を壊すため、 係数がちょうど $0$ になる。形の対称性が、含まれる周波数を決める。第2章の直交性で厳密に確かめます。

試してみよう

• 三角波を選ぶと、同じ奇数倍音でも係数が $1/n^2$ で速く減る。少ない項でもうなめらか(第3章の減衰の話)
• 矩形波で $N$ をどれだけ増やしても、跳躍点の角に小さなツノが残る。これは第3章のギブス現象です

操作チャレンジ

重ね合わせで目標の形を作る3問。矩形波の収束と、ノコギリ波の $1/n$ のゆっくりした収束を手で確かめます。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

矩形波のフーリエ係数は $b_n = 4/(n\pi)$(奇数 $n$ のみ)です。基本波 $n=1$ の係数 $b_1$ の値はいくつですか?(数値のみ)

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

矩形波を作るのに必要な$\sin$成分は、次のうちどれですか?

偶数倍音だけ奇数倍音だけ(偶数倍音の係数は $0$)すべての倍音を同じ量ずつ基本波だけ

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確認 3 / 3

矩形波に偶数倍音が含まれない理由は何ですか?

偶数倍音の周波数が高すぎて計算できないため偶数倍音は直交していないため偶数倍音は矩形波より速く減衰するため半周期ずらすと符号が反転する対称性を持ち、偶数倍音がこれを壊すため

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