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項数を増やして矩形波に近づける

ウォームアップ — 第3章の振り返り

問1 / 1

単位円の点をドラッグして、sinθ = −1 になる場所へ移動してください。

sinθ = 0.00(目標 −1.00)

前のレッスンで、周波数の違う波を足すと新しい形が生まれるのを見ました。 では波をどんどん足していったら、カクカクの形まで作れるのでしょうか。 このコースの看板、項数スライダーで確かめます。

触ってみる — 項数スライダー

矩形波・ノコギリ波・三角波を選び、足す $\sin$ の本数 $N$ を増やしてください。 藍色の合成波が、みるみる目標の形(緑)に寄っていきます。

矩形波ノコギリ波三角波

項数 N3

各成分の波(細い線)を重ねて表示

矩形波なら奇数倍音($\sin x,\ \sin 3x,\ \sin 5x,\dots$)を $\dfrac{4}{\pi}\cdot\dfrac{1}{n}$ の量で足す。 ノコギリ波なら全部の倍音を $\dfrac{1}{n}$ の量で足す。項を増やすほど、角ばった形が姿を現します。

いま何が起きたのか

足し上げている式は、次の形をしています(高校数学コース第6章の $\Sigma$ = 足し上げ):

$$S_N(x) = \sum_{n=1}^{N} b_n \sin(nx)$$

矩形波の係数は $b_n = \dfrac{4}{\pi n}$(奇数 $n$ のみ、偶数は $0$)。これは天下りに与えたのではなく、 第2章で「内積で取り出す」と自然に出てきます。いまは足したら形になったという体験が主役です。

• カクカクの角を作るには、高い周波数(細かい波)まで必要。角の鋭さは高周波が担う
• 係数 $1/n$ は、周波数が上がるほど波の量が減るという意味。だから遠い高周波は効きが小さい
• 成分をチェックで表示すると、細い波がどう積み上がって角を作るかが見えます

なぜ矩形波は奇数倍音だけなのか

矩形波は「半周期ずらすと符号が反転する」対称性を持ちます。偶数倍音はこの対称性を壊すため、 係数がちょうど $0$ になる。形の対称性が、含まれる周波数を決める——第2章の直交性で厳密に確かめます。

試してみよう

• 三角波を選ぶと、同じ奇数倍音でも係数が $1/n^2$ で速く減る。少ない項でもうなめらか(第3章の減衰の話)
• 矩形波で $N$ をどれだけ増やしても、跳躍点の角に小さなツノが残る。これは第3章のギブス現象です

操作チャレンジ

重ね合わせで目標の形を作る3問。矩形波の収束と、ノコギリ波の $1/n$ のゆっくりした収束を手で確かめます。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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