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複素関数を使う — 写像として読む

前回は複素数の極形式と、複素関数を色で見る方法を触りました。今回はそれを計算で扱います。

ド・モアブルの定理

積が「絶対値の積・偏角の和」になることから、同じ数を $n$ 回掛ければ次が導けます。

$$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \qquad \text{とくに } r=1 \text{ なら} \qquad (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

これがド・モアブルの定理です。$n$ 乗すると偏角がちょうど $n$ 倍になる——これは前回、$z^2$ のドメインカラーリングで「色相が2周する」として目にした現象そのものです。

関数z²1/zeᶻ(z−a)/(z+a)$z^2$

もう一度 $z^2$ を選んで、原点付近の小さな円をイメージしてください。角度 $\theta$ の点は $z^2$ で角度 $2\theta$ の点に写ります。円を1周($\theta$ が $0$ から $2\pi$)すれば、写った先は2周してしまう——だから色相が2周するのです。$1/z$ は偏角の符号が反転する($\arg(1/z) = -\arg z$)ことも、関数を切り替えて確認してみましょう。

巻き数の読み方のまとめ

• 零点・極の位数 = その点を囲む小さな円を1周したときに色相が周回する回数
• $z^2$: 原点は2位の零点(色相2周)
• $1/z$: 原点は1位の極(色相1周、明るい)
• $(z-a)/(z+a)$: $z=a$ が1位の零点、$z=-a$ が1位の極

理解チェック

$z = \cos 40° + i\sin 40°$ を5乗すると、偏角は何度になるでしょうか?

答えを見る

ド・モアブルの定理より偏角は $5\times40° = 200°$ になります。絶対値は $1^5=1$ のままです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$z = \cos 20° + i\sin 20°$ を4乗した数の偏角は何度ですか?

答え

±

確認

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

$1/z$ のドメインカラーリングで、$z$ と $1/z$ の偏角の関係はどれですか?

90°ずれる2倍になる同じになる符号が反転する($\arg(1/z)=-\arg z$)

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

ある点を囲む小さな円を1周すると、$1/(z-a)^3$ のドメインカラーリングで色相は何周しますか?(点 $z=a$ の周り)

答え

±

確認

ヒントを見る答えと解説を見る

📖

この章の定義・定理・公式をまとめて確認する

第1章 複素数平面と複素関数 — 2枚の平面で見る のまとめページへ

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

主な参考文献: Needham『Visual Complex Analysis』(Oxford) / Ahlfors『Complex Analysis』(McGraw-Hill) / 神保道夫『複素関数入門』(岩波)

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