複素関数を使う — 写像として読む

前回は複素数の極形式と、複素関数を色で見る方法を触りました。今回はそれを計算で扱います。

ド・モアブルの定理

積が「絶対値の積・偏角の和」になることから、同じ数を $n$ 回掛ければ次が導けます。

$$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

とくに $r=1$ のときは次の形になります。

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

これがド・モアブルの定理です。$n$ 乗すると偏角がちょうど $n$ 倍になります。これは前回、$z^2$ のドメインカラーリングで「色相が2周する」として目にした現象と同じです。

関数z²1/zeᶻ(z−a)/(z+a)$z^2$

0π/2π3π/2

色相 = 偏角(上の帯が凡例)・明るい = |f(z)| が大きい

もう一度 $z^2$ を選んで、原点付近の小さな円をイメージしてください。角度 $\theta$ の点は $z^2$ で角度 $2\theta$ の点に写ります。円を1周($\theta$ が $0$ から $2\pi$)すれば、写った先は2周してしまいます。だから色相が2周するのです。

$1/z$ に切り替えると、偏角の符号が反転します($\arg(1/z) = -\arg z$)。この関係も、関数を切り替えて確認してみましょう。

巻き数の読み方のまとめ

• 零点・極の位数 = その点を囲む小さな円を1周したときに色相が周回する回数
• $z^2$: 原点は2位の零点(色相2周)
• $1/z$: 原点は1位の極(色相1周、明るい)
• $(z-a)/(z+a)$: $z=a$ が1位の零点、$z=-a$ が1位の極

理解チェック

$z = \cos 40° + i\sin 40°$ を5乗すると、偏角は何度になるでしょうか?

答えを見る

ド・モアブルの定理より偏角は $5\times40° = 200°$ になります。絶対値は $1^5=1$ のままです。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$z = \cos 20° + i\sin 20°$ を4乗した数の偏角は何度ですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

$1/z$ のドメインカラーリングで、$z$ と $1/z$ の偏角の関係はどれですか?

90°ずれる2倍になる同じになる符号が反転する($\arg(1/z)=-\arg z$)

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確認 3 / 3

ある点を囲む小さな円を1周すると、$1/(z-a)^3$ のドメインカラーリングで色相は何周しますか?(点 $z=a$ の周り)

答え

±√π

確認

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