定義・定理・公式まとめ

$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形すると、頂点は $(p,q)$、軸は $x=p$

グラフの形を保ったまま、基準点(頂点)が見える形に書き換える

$D=b^2-4ac$ について、$D>0\Rightarrow2個,\ D=0\Rightarrow1個(重解),\ D<0\Rightarrow0個$

頂点がx軸の上下どちらにあるか(と凸の向き)を1つの数で判定する

$ax^2+bx+c=0$ で $a\ne0$(2次方程式であること)が前提

候補は「頂点」と「区間の両端点」の3つだけ

頂点が区間の内側か外側かで、最大最小がどこで起きるかが変わる

頂点が区間内→頂点と両端点を比較。頂点が区間外→両端点のうち頂点に近い方を優先して比較する

$a>0$ のとき $ax^2+bx+c>0$ の解は、$f(x)=0$ の2解の外側

放物線がx軸の上にある範囲・下にある範囲を、2つの解の位置で読み取る

$a<0$ のときは両辺を $-1$ 倍して $a>0$ の形に整えてから考える(不等号の向きが変わる点に注意)

$t=x+y$ のように置き換えたら、$t$ がとりうる値の範囲を必ず確認する

1つの式にまとめることで2次関数の道具が使えるようになるが、置き換えた変数にも制約が残る

元の変数の制約(例: $x,y$ が実数であること)から $t$ の範囲を導かないと、範囲外の値で最大最小を答える誤りにつながる

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\quad \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

2つの解を求めずに、和と積だけで条件を立式できる

$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$ が実数解 $\alpha,\beta$(重解を含む)をもつときに成り立つ

判別式・軸の位置・端点での $f(x)$ の符号、の3点をセットで確認する

「解がどこにあるか」という条件は、グラフの形・位置・高さの3つの情報に分解できる

3条件のうち1つでも見落とすと、範囲が広すぎたり境界を取りこぼしたりする

「動くのは頂点(区間は固定)」か「動くのは区間(頂点は固定)」かをまず整理する

同じ最大最小問題でも、何を基準に固定して何を動かすかで場合分けの形が変わる

場合分けの境界値(頂点や端点が一致する瞬間)では、両側の式が同じ値になることを検算する

「同時に起きない」→ 足す、「それぞれに対して」→ 掛ける

場合の数のほぼすべてがこの2つの読み替えでできている

${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)\cdots(n-r+1),\quad {}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}$

並べてから、気にしない並び順のダブり $r!$ を割って消す

$n,r$ は整数で $0\le r\le n$

$P(A) = 1 - P(\bar A)$

「少なくとも1回」「1回も〜ない」は余事象に回すと計算が減る

全事象の確率が1であること($P(A)+P(\bar A)=1$)を使う。数えにくい方でなく、数えやすい方を先に数える

$P(X=k) = {}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1-p)^{n-k}$

$k$回起きる場所を$n$回の中から選び、成功と失敗の確率を掛け合わせる

各試行が独立で、成功確率 $p$ が毎回一定であることが前提

$P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Aが起きたと分かった後で、Bが起きる確率を数え直す

$P(A)>0$ のときに定義される

$E[X] = \displaystyle\sum_k x_k\,P(X=x_k)$

得点×確率を全部足した「長い目で見た1回あたりの平均」

$p_{n+1} = f(p_n)$ の形に立式してから解く

$n$回後の状態を$n-1$回後の状態で表す、という発想の転換

初期条件($p_1$ または $p_0$)を明記して境界条件を確定させる。解いた後は $n=1$ などの小さい値で検算する

$\angle APB=\dfrac12\angle AOB$(同じ弧に対して)

円周上のどこから見ても、同じ弧に対する見込み角は変わらない

中心角と円周角は同じ弧(弦)に対するものである必要がある。劣弧・優弧のどちら側の円周角かで対応する中心角が変わる

$\angle A+\angle C=180°,\quad \angle B+\angle D=180°$

対角の和がちょうど半周分になるように、4点が同じ円に乗っている

四角形が同一円に内接する場合のみ成立。逆に対角の和が $180°$ であれば、その四角形は円に内接すると判定できる

内部で交わる弦: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。外部の2割線: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。接線と割線: $PT^2=PA\cdot PB$

点Pが円の内部・外部のどちらにあっても、そこを通る2直線が円と作る積は一定になる

点Pが円の内部にあるか外部にあるかで、式に現れる線分(交わる弦か、Pから測った距離か)の意味が変わる点に注意

$BD:DC=AB:AC$(内角の二等分線が対辺 $BC$ と交わる点 $D$)

二等分線は、隣り合う2辺の長さの比と同じ比で対辺を分ける

外角の二等分線の場合は同じ比 $AB:AC$ で外分点になる。$AB=AC$(二等辺三角形)のときは $1:1$ の内分、すなわち中線と一致する

$\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB}=1$

3本の線が1点で交わるとき、辺を回る比を掛け合わせるとちょうど1になる

点 $D,E,F$ が各辺(またはその延長)上にあり、$AD,BE,CF$ が1点で交わることが前提。逆に積が1になれば3線は1点で交わる(チェバの定理の逆)

$\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB}=1$(1直線が3辺と交わるとき)

チェバと同じ積の形だが、1点に集まる線ではなく1直線が三角形を横切る場面で使う

3つの交点のうち、辺の延長上にある点の個数が奇数個(1個または3個)であることが前提(でないと3点が一直線上に取れない)

重心 $=\dfrac{A+B+C}{3}$(座標・位置ベクトルとも成立)

5つの中心はそれぞれ別の基準(中線・垂直二等分線・角の二等分線・垂線)で三角形の「真ん中」を定義する

外心は3辺の垂直二等分線の交点(各頂点から等距離)、内心は3つの内角の二等分線の交点(各辺から等距離)、垂心は3頂点から対辺への垂線の交点。直角三角形では外心が斜辺の中点、垂心が直角の頂点に一致する

1つの相似だけで解けないときは、複数の相似な三角形を経由して比を掛け合わせる

遠く離れた2つの長さの関係は、途中の相似な三角形をつなぐことで見えてくる

どの三角形とどの三角形が相似かを先に明示してから比を掛けないと、対応する辺を取り違えやすい

単位円上の点の座標を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と定める

角を弧の長さで測ることで、90°を超えた角にも自然に値が定義できる

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ は $\cos\theta\ne0$(すなわち $\theta\ne90°+180°n$)のときのみ定義される

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

角の和・差の三角比を、もとの角ごとの三角比の積の組み合わせに分解する

複号同順(上の符号どうし、下の符号どうしを組にして読む)

$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\quad \cos2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$

加法定理で $\alpha=\beta=\theta$ とした特別な場合

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)$

2つの波を1つの波(振幅と位相のずれ)にまとめる

$a,b$ が同時に $0$ でないときに定義される。位相 $\varphi$ は $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を満たす角

角を置き換えたら($t=2\theta$ など)、置き換えた変数が動く範囲を先に確定する

元の角の1周期が、置き換えた変数では複数周期分に対応することがある

置き換えによる周期の倍化を見落とすと、解の個数を過小に数える典型的な誤りにつながる

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$(または逆)を使って、$t=\sin\theta$(または $\cos\theta$)の2次関数に直す

三角関数のまま扱わず、置き換えて見慣れた2次関数の最大最小に落とし込む

置き換えた $t$ の定義域は必ず $[-1,1]$ に制限されるので、2次関数と同じ「頂点が区間内かどうか」の場合分けが必要

図形の辺の長さ・面積を1つの角 $\theta$ の関数として表し、三角関数の最大最小に帰着させる

動く図形の問題は、動く角を変数に選ぶと関数の問題に変換できる

$\theta$ がとりうる範囲(図形として成立する角度の範囲)を先に確認してから最大最小を考える

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

掛ける回数どうしが足し算・掛け算に対応する

指数を負の数・有理数に拡張するには底 $a>0$ が前提

$\log_a N = x \iff a^x=N$

「$a$ を何回掛けたら $N$ になるか」を表す数

底は $a>0,\ a\ne1$、真数は $N>0$ が必要(この条件を満たさない対数は定義されない)

$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

底がそろっていない対数どうしを比べるとき、共通の底を経由する

$c>0,\ c\ne1$(かつ $a,b>0,\ a\ne1$)が前提

$\log_a MN=\log_a M+\log_a N,\quad \log_a\dfrac MN=\log_a M-\log_a N,\quad \log_a M^k=k\log_a M$

掛け算・割り算が対数を通すと足し算・引き算に変わる

$M,N>0$ が前提。負の数の対数は定義されないので、この式を逆向きに使うときも符号に注意する

$a>1$ のとき $\log_a f>\log_a g \iff f>g>0$。$0<a<1$ のときは不等号の向きが反転する

底が1より小さいと、対数を取る操作自体が大小を逆転させる

真数条件 $f>0,\ g>0$ を先に確認してから不等号の向きを判断する

$N$ の桁数は $\lfloor\log_{10}N\rfloor+1$。最高位の数字は $\log_{10}N$ の小数部分を $\log_{10}1,\ldots,\log_{10}9$ と比べて求める

常用対数の整数部分が桁数、小数部分が桁の中の位置を教えてくれる

$\log_{10}2,\ \log_{10}3$ など与えられた近似値を使って計算する(与えられていない素数の対数は直接求められない)

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

座標の差を2辺とする直角三角形に、三平方の定理を当てはめたもの

点 $(x_1,y_1)$、傾き $m$ の直線: $y-y_1=m(x-x_1)$。一般形は $ax+by+c=0$

傾きと通る1点さえ分かれば、直線は1本に決まる

$y$軸に平行な直線($x=k$の形)は傾きを持たないので、一般形で扱う

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \iff x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\ (D=-2a,\ E=-2b,\ F=a^2+b^2-r^2)$

一般形は標準形を展開しただけで、平方完成すれば中心と半径が読める

一般形が実際に円を表すのは $D^2+E^2-4F>0$(平方完成した右辺が正)のときに限る

$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

直線に垂線を下ろしたときの長さを、成分計算だけで求められる

直線を必ず $ax+by+c=0$ の形に整理してから使う($y=mx+b$のままでは使えない)

中心と直線の距離 $d$、半径 $r$ について: $d<r$ なら2点で交わる、$d=r$ なら接する、$d>r$ なら交わらない

中心からの距離と半径を比べるだけで、連立方程式を解かずに交わり方が分かる

連立して判別式の符号を見る方法と同じ結論になるので、片方をもう片方の検算に使える

内分点 $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$。外分点は $n$ を $-n$ に置き換えた形

AとBを $m:n$ の重みで混ぜ合わせた点

外分点は $m\ne n$ が必要($m=n$ だと分母が0になり外分点が存在しない)

$PA:PB=m:n\ (m\ne n)$ を満たす点 $P$ の軌跡は円になる

内分点と外分点の2点を直径の両端とする円が、条件を満たす点をすべて拾い集める

$m=n$ のときは円ではなく、線分ABの垂直二等分線になる(この場合だけ例外)

$f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

割線の傾きの極限が、接線の傾き

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$

傾きと通る1点さえ分かれば、直線は1本に決まる

$f'(x)=0$ の解のうち、前後で符号が変わるものが極値

傾きの符号が切り替わる場所が山(極大)と谷(極小)

符号が変わらない解(例: $f(x)=x^3$ の $x=0$、$f'(x)=3x^2\ge0$)は極値ではない

極値の候補 + 端点

増減表は区間の内側しか見ていないので、端点は別枠で必ず確認する

最大・最小の存在自体は、閉区間で $f$ が連続であることが前提(開区間だと存在しないことがある)

極大値と極小値が異符号 → 3個、同符号 → 1個、どちらかが0 → 2個(重解を含む)

山と谷の高さが $x$ 軸をまたいでいるかどうかで、交わる回数が決まる

3次の係数が正で $f'(x)=0$ が異なる2実解を持つ(極値を2つ持つ)場合の判定。$f'(x)=0$ が実数解を持たない場合は常に実数解1個

$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C\ (n\ne-1)$

微分の逆操作。指数を1増やして、増えた指数で割る

$n=-1$(つまり $\int\frac1x dx$)にはこの公式が使えない(数IIの範囲では扱わない)

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

原始関数の差を取るだけで、区間の下の面積(符号つき)が求まる

区間で $f(x)\ge0$ のときだけ定積分の値と面積が一致する。$f(x)<0$ の区間では定積分は負になる

偶関数なら $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx=2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx$、奇関数なら $\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,dx=0$

グラフの左右対称・点対称がそのまま積分の性質になる

区間が原点を中心に対称($-a$から$a$)であることが前提

$\displaystyle\int_\alpha^\beta a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac a6(\beta-\alpha)^3$

放物線と直線・放物線どうしで囲まれた面積を、交点の差だけから一気に求める近道

差 $f(x)-g(x)$ がちょうど2つの交点をもつ2次式のときに限る。交点が3つ以上(差が3次式以上)のときは使えない

符号が変わる点で積分区間を分割し、各区間で絶対値の中身の符号をそろえてから積分する

絶対値のグラフは折れ線なので、折れ目の前後で式が変わる

$\displaystyle\int|f(x)|\,dx\ne\left|\displaystyle\int f(x)\,dx\right|$(絶対値を無視して先に積分してはいけない)

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$

積分区間の上端を変数にすると、微分で元の関数がそのまま戻ってくる

下端 $a$ が定数で、上端 $x$ が変数であることが前提(微積分の基本定理)。下端に $x$ を含む場合はこの形のまま使えない

$a_n=a+(n-1)d,\quad S_n=\dfrac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}$

一定の差を足し続けるだけなので、公式は代入して終わり

末項$l$が分かっていれば $S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}$ でも同じ値になる

$a_n=a\cdot r^{n-1},\quad S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\ (r\neq1)$

公比1だけ特別扱いになる、分母がゼロになるのを避ける場合分け

$r=1$のとき和の公式の分母が$0$になるため使えない。このときは全項が初項に等しいので $S_n=na$

$\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2},\quad\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad\sum_{k=1}^n c=cn$

Σの線形性で各項に分配してから公式を当てはめる

$n\ge2$ のとき $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k\quad(b_k=a_{k+1}-a_k)$

階差を足し戻せば元の数列に戻る、階段を1段ずつ登る発想

この式は$n\ge2$でのみ成り立つ。$n=1$でも成り立つかは代入して別途確認する(成り立たなければ場合分けが必要)

$\alpha=p\alpha+q$ を解き、$a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$

動かない点(不動点)からの差を取ると、素直な等比数列になる

$p=1$のときは不動点方程式に解がなく使えない(このときは単なる等差数列、または階差数列型で解く)

$\dfrac{1}{k(k+d)}=\dfrac1d\left(\dfrac1k-\dfrac{1}{k+d}\right)$

隣り合う項が打ち消し合い、最初と最後だけが残る

差$d$が2以上のときは、隣り合う項がすぐには打ち消し合わず、最初と最後にそれぞれ$d$項ずつ残る

第$k$群までの項数の合計 $T(k)$ について $T(k-1)<n\le T(k)$ を満たす$k$が、第$n$項の属する群

通し番号を群ごとの区切りで割り振り直すだけ

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2$

図形の顔(射影)と計算の顔(成分の積)が同じ量になる

$|\vec a||\vec b|\cos\theta$ の形は $\vec a,\vec b\ne\vec0$ のとき(零ベクトルとのなす角は定義されない)。成分の式は零ベクトルでも成り立つ

$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$

$\cos90°=0$ だから、垂直かどうかが内積だけで判定できる

なす角を考えるので、両ベクトルが非零であることが前提

$\vec{OP} = \dfrac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$

AとBを $m:n$ の重みで混ぜ合わせた点

外分点は $n$ を $-n$ に置き換えた形($m\ne n$ が必要。$m=n$ だと分母が0になり外分点が存在しない)

$S = \dfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\ (\vec{AB}=(x_1,y_1),\ \vec{AC}=(x_2,y_2))$

$\vec{AB},\vec{AC}$ が張る平行四辺形の面積の半分

$\vec{n}\cdot(\mathbf{X}-A) = 0$

法線ベクトルに垂直な点の集まりが平面になる

法線 $\vec n$ は平面上の2方向ベクトル $\vec{AB},\vec{AC}$ の外積で作れる($\vec{AB},\vec{AC}$ が一次独立、つまり平行でないとき)

$d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

斜めに測るのではなく、平面に垂直に下ろした最短距離

$a,b,c$ は同時には $0$ でない(平面を表す条件。$a=b=c=0$ だと分母も $0$ になる)

$V = \dfrac16\left|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}\right|$

外積で底面の面積付きベクトルを作り、高さ方向の内積で押しつぶす

$\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}$ が同一平面上にある(一次従属)とき、体積は $0$ になる

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\quad r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

複素数を「原点からの距離」と「向き」の組で表す

$|zw|=|z||w|,\quad \arg(zw)\equiv\arg z+\arg w\pmod{360^\circ}$

掛け算は長さを掛けて、角度を足すだけ

商は絶対値を割り、偏角を引く。結果が$0^\circ$未満や$360^\circ$以上になったら$360^\circ$を足し引きして範囲に戻す

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ のとき $z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$

掛け算を$n$回繰り返した結果を先回りして式にしたもの

$n$が整数であることが前提(この単元では正の整数の場合を扱う)

$z^n=w$ の解は、絶対値 $|w|^{1/n}$、偏角 $\dfrac{\arg w+360^\circ k}{n}$($k=0,1,\dots,n-1$)の$n$個

同じ絶対値で、角度が等間隔に並ぶ正$n$角形の頂点

$k$を$0$から$n-1$まで($n$個ぶん)動かし切って初めて解を求め漏らさない

$z'=c+(z-c)(\cos\theta+i\sin\theta)$

中心を引いて原点に持ってきてから回し、最後に中心を足し戻す

$|z-\alpha|=r$: 中心$\alpha$、半径$r$の円。$|z-\alpha|=|z-\beta|$: 2定点$\alpha,\beta$の垂直二等分線

複素数の絶対値がそのまま2点間の距離を表す

$|z-\alpha|=k|z-\beta|$($k\neq1$)はアポロニウスの円になる。$k=1$のときだけ円がつぶれて直線(垂直二等分線)になる

$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$

3頂点の対称式が一致するかどうかで、辺の長さを測らずに正三角形と分かる

3点$z_1,z_2,z_3$が正三角形の頂点であるための必要十分条件(一般の三角形では成り立たない)

十分大きい$n$で $a_n\le b_n\le c_n$ かつ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L$ ならば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=L$

$b_n$自身が計算できなくても、両側から挟めれば極限は求まる

不等式は(すべての$n$でなくても)十分大きい$n$から先で成り立てば使える

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

角度と分母の形をそろえてから係数を掛ける

$x\to0$のときに限る($x$がラジアンで測られていることが前提)

分子・分母を最高次の項で割る。$\sqrt{\ }$を含む差は共役を掛けて有理化する

そのままでは$\infty/\infty$や$\infty-\infty$になる式を、計算できる形に直す

$u=g(x)$ とおき $du=g'(x)\,dx$。定積分は積分区間も$u$の範囲に変換する

微分形がセットで含まれる式は、変数を置き換えるだけで積分できる

積分区間を$x$のまま使うのは誤り。置換後は必ず$u$(または$\theta$)の範囲に変換する

$\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$

微分すると簡単になる方を$f$、積分しやすい方を$g'$に選ぶ

指数関数×三角関数は2回部分積分すると元の積分が形を変えて再登場するので、方程式とみなして解く

$x$軸まわり: $V=\pi\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$、2曲線の間: $V=\pi\displaystyle\int_a^b\left(\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2\right)dx$

薄い円板(またはドーナツ状の断面)を積み重ねる

2曲線の場合は区間内で$f(x)\ge g(x)\ge0$であることを先に確認する(2乗の差であって差の2乗ではない)

$f$が$[0,1]$で連続なら $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$

短冊の面積の合計が、分割を細かくするほど定積分に近づく

和が積の形のときは対数を取って和に変換してから区分求積法を使う