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円周角の定理 — 円のふちから同じ弧を見る

円の中心から弧を見る角を中心角、円周上の点から同じ弧を見る角を円周角と呼びます。 円周角の定理は、とても短く言えます。

同じ弧に対する円周角は、中心角の半分です。

たとえば中心角が $100^\circ$ なら、同じ弧を見込む円周角は $50^\circ$ です。 点が円周上を動いても、見ている弧が同じなら角度は変わりません。

触ってみる — 円周上の点を動かす

赤い点 $P$ をドラッグしてください。 点 $P$ は円周上だけを動きます。 緑の弧 $AB$ は固定されているので、中心角 $\angle AOB$ は $100^\circ$ のままです。 その弧を見込む円周角 $\angle APB$ は、どこへ動かしても $50^\circ$ のままになります。

中心角 $\angle AOB = 100^\circ$円周角 $\angle APB = 50^\circ$$\angle APB = \frac{1}{2}\angle AOB$

接線も円ではよく使う

円と直線がただ $1$ 点で触れるとき、その直線を接線と呼びます。 接点を $T$、中心を $O$ とすると、半径 $OT$ と接線は垂直です。 つまり、接線が出てきたら $90^\circ$ の直角を探します。

円周角では「同じ弧」、接線では「半径と垂直」。 この $2$ つを見落とさないだけで、円の問題はかなり整理しやすくなります。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

中心角が $100^\circ$ の弧を見込む円周角は?

$25^\circ$$100^\circ$$200^\circ$$50^\circ$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

点 $P$ を同じ弧 $AB$ を見る位置で動かすと、$\angle APB$ はどうなりますか?

一定のまま点 $P$ が低いほど大きくなる点 $P$ が右にあるほど小さくなる中心角と同じになる

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

円の接点 $T$ で、半径 $OT$ と接線が作る角は?

$180^\circ$$90^\circ$$60^\circ$$45^\circ$

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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