三平方の定理 — 面積として見る

直角三角形では、直角をはさむ $2$ 辺を $a,b$、斜辺を $c$ とすると、

$$a^2+b^2=c^2$$

が成り立ちます。 これは単なる計算の暗記ではなく、$3$ 辺それぞれに立てた正方形の面積の関係です。 短い $2$ 辺の正方形の面積を足すと、斜辺に立てた正方形の面積と一致します。

触ってみる — $3$ 辺の正方形を比べる

青い点を左右に動かすと $a$、緑の点を上下に動かすと $b$ が変わります。 三角形はいつも原点で直角のままです。 青と緑の正方形の面積を足した値が、赤い正方形の面積と一致することを確かめてください。

$a = 4$, $a^2 = 16$$b = 3$, $b^2 = 9$$c = 5$, $c^2 = 25$

座標の距離にも同じ形が出る

座標平面で $2$ 点 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ の距離を求めるときも、考えていることは同じです。 横の差を $x_2-x_1$、縦の差を $y_2-y_1$ とすると、それらを直角をはさむ $2$ 辺にした直角三角形ができます。 斜辺が $PQ$ なので、

$$PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

です。

$P(-2, -1)$$Q(2, 2)$距離 $PQ = 5$

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

直角三角形で $a=3$, $b=4$ のとき、斜辺 $c$ は?

$\sqrt{5}$$7$$5$$25$

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確認 2 / 3

点 $P(1,2)$ と点 $Q(5,5)$ の距離は?

$5$$\sqrt{41}$$3$$4$

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確認 3 / 3

斜辺 $13$、一方の直角をはさむ辺 $5$ の直角三角形で、もう一方の辺は?

$10$$18$$8$$12$

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章末チャレンジ

点 $B$ を動かして、原点からの距離が $5$ になる第 $1$ 象限の格子点を作ってください。 横と縦の差が直角三角形の $2$ 辺になるので、三平方の定理で距離を確かめられます。

いま $OB = \sqrt{4 + 4} = 2.83$