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相似比 — 面積と体積は何倍になるか

前回は、相似な図形では対応する長さが同じ倍率になることを見ました。 今回は、その倍率が面積や体積にどう効くかを考えます。 結論から言うと、長さの相似比が $k$ なら、面積比は $k^2$、体積比は $k^3$ です。

これは丸暗記ではありません。 面積は縦と横の $2$ 方向で決まり、体積は縦・横・高さの $3$ 方向で決まります。 長さがそれぞれ $k$ 倍になるので、面積では $k \times k$、体積では $k \times k \times k$ が出てきます。

触ってみる — $k^2$ と $k^3$ を同時に見る

スライダーで長さの倍率を変えてください。 左は正方形の面積、右は立方体の体積です。 同じ倍率 $k$ でも、面積と体積では増え方が違います。

長さの比 $k = 1.5$面積比 $k^2 = 2.25$体積比 $k^3 = 3.38$

倍率1.5

面積は $2$方向の倍率

体積は $3$方向の倍率

たとえば長さを $2$ 倍にすると、面積は $2^2=4$ 倍、体積は $2^3=8$ 倍です。 長さを半分にすると、面積は $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ 倍、体積は $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$ 倍になります。 縮図や模型で「少し大きくしただけなのに面積や体積が大きく変わる」のは、この累乗のためです。

縮図と模型で使う

地図では、地図上の長さと実際の長さが一定の比になっています。 長さだけを聞かれているなら相似比をそのまま使います。 しかし、土地の面積や箱の体積を比べるときは、長さの比をそのまま使うとずれます。

たとえば相似比が $3:2$ の図形なら、面積比は $3^2:2^2=9:4$ です。 相似比が $1:4$ の模型なら、体積比は $1^3:4^3=1:64$ です。 何を比べているのかが、長さなのか、面積なのか、体積なのかを最初に確認します。

試してみよう

• 長さの倍率を $2$ にする → 面積比が $4$、体積比が $8$ になります
• 長さの倍率を $3$ にする → 面積比が $9$、体積比が $27$ になります
• 長さの倍率を $0.5$ にする → 面積比と体積比が、長さの比よりさらに小さくなります

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

相似比が $3:2$ の図形で、面積比として正しいものはどれですか?

$6:4$$3:2$$27:8$$9:4$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

長さを $\frac{1}{4}$ 倍した模型の体積は、もとの何倍ですか?

$\frac{1}{4}$$\frac{1}{16}$$4$$\frac{1}{64}$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

相似な立体で体積比が $27:8$ のとき、長さの比として正しいものはどれですか?

$27:8$$9:4$$3:2$$\sqrt{27}:\sqrt{8}$

ヒントを見る答えと解説を見る

章末チャレンジ

倍率を調整して、面積比と体積比を同時に目標へ合わせてください。 目標は図の下の説明に書いてあります。

面積は $2$方向の倍率

体積は $3$方向の倍率

倍率1.25

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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