← コースに戻る

相似 — 中心から拡大・縮小する

形は同じで、大きさだけが違う図形を相似といいます。 写真を拡大しても、地図を縮小しても、角の大きさは変わりません。 変わるのは長さです。対応する長さがすべて同じ倍率になるとき、その倍率を相似比と呼びます。

この回では、相似を「相似の中心」から見る方法で考えます。 中心 $O$ から点 $P$ へ線を引き、その線上で $OP$ を同じ倍率にした点を $P'$ とします。 すべての点に同じ操作をすると、図形全体が形を保ったまま拡大・縮小されます。

触ってみる — 中心から同じ倍率で動かす

下の図では、赤い点 $O$ が相似の中心です。 倍率を動かすと、各頂点が $O$ から伸びる同じ直線上を動きます。 青い図形と紫の図形は、対応する辺の比も、対応する角の大きさもそろっています。

相似比 $k = 1.5$原図の面積 $3.12$変換後の面積 $7.02$

倍率1.5

倍率 $k$ が $1$ より大きいと拡大、$0<k<1$ だと縮小です。 どちらの場合も、対応する点は中心 $O$ から見て同じ向きに並びます。 たとえば $OP'=2OP$ なら、点 $P'$ は点 $P$ より中心から $2$ 倍遠い位置にあります。

相似比を読む

相似な図形では、対応する辺の比がどこでも同じです。 ある辺で $A'B':AB=2:1$ と分かれば、ほかの対応する辺もすべて $2:1$ です。 そのため、まだ分からない長さは、分かっている辺から同じ倍率を使って求められます。

一方、角は倍率をかけません。 図形を拡大しても、直線どうしの開き方は変わらないからです。 相似では「長さは同じ倍率、角は同じ大きさ」と分けて覚えると、計算が安定します。

試してみよう

• 倍率を $1$ にする → 変換後の図形がもとの図形と重なります
• 倍率を $2$ にする → 中心 $O$ から各頂点までの距離が $2$ 倍になります
• 倍率を $0.5$ にする → 図形は中心 $O$ に近づき、辺の長さは半分になります

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

相似の中心 $O$ から点 $P$ までが $3\text{ cm}$、相似比が $2$ のとき、$OP'$ はどれですか?

$5\text{ cm}$$9\text{ cm}$$6\text{ cm}$$1.5\text{ cm}$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

対応する辺 $AB$ が $5\text{ cm}$、$A'B'$ が $8\text{ cm}$ のとき、もとの図形から拡大後の図形への相似比 $k$ はどれですか?

$\frac{8}{5}$$3$$13$$\frac{5}{8}$

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

$AB=4\text{ cm}$、$A'B'=10\text{ cm}$ のとき、$BC=6\text{ cm}$ に対応する $B'C'$ はどれですか?

$2.4\text{ cm}$$24\text{ cm}$$12\text{ cm}$$15\text{ cm}$

ヒントを見る答えと解説を見る

章末チャレンジ

倍率を調整して、相似の中心 $O$ から作られる図形を目標の図形に重ねてください。 目標は図の下の説明に書いてあります。

倍率1

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

内容の誤り・誤植を見つけたら こちらから報告できます。いただいた指摘は 更新履歴 に反映します。