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放物線 $y=ax^2$ と二次方程式の解

$y=ax^2$ のグラフは放物線です。 $a$ が正なら上に開き、負なら下に開きます。 また、$|a|$ が大きいほど幅はせまく、$|a|$ が小さいほど幅は広く見えます。

二次方程式の解は、グラフで見ると $x$軸との交点です。 たとえば $ax^2+c=0$ は、放物線 $y=ax^2+c$ が $x$軸と交わる場所を探すことと同じです。 交点が $2$個、$1$個、$0$個に変わる境目を、判別式 $D$ の符号と合わせて観察します。

$y = x^2 - 2$$x^2 - 2 = 0$$D=-4ac=8$

係数 $a$$1$定数項 $c$$-2$

$D>0$$D=0$$D<0$

$a=1$ なので上に開きます。$|a|=1$ なので標準の幅です。$D=8>0$ なので $x$軸と $2$点で交わります。解は $x=-1.41, 1.41$ です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$y=3x^2$ と $y=\frac{1}{3}x^2$ を比べると、幅がせまいのはどちらですか?

$y=3x^2$どちらも直線$y=\frac{1}{3}x^2$どちらも同じ幅

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確認 2 / 3

$-2x^2+8=0$ の解はどれですか?

実数の解はありません$x=-4, 4$$x=0$$x=-2, 2$

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確認 3 / 3

$a>0$、$c>0$ のとき、$ax^2+c=0$ の実数解について正しい説明は?

$x=0$ だけが解必ず $2$個の実数解があります$a$ の値だけでは決まりません実数解はありません

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操作チャレンジ

放物線を目標のグラフに重ね、$x$軸との交点が指定された解になるようにしてください。 係数 $a$ と定数項 $c$ の両方を調整します。

係数 $a$$1.5$定数項 $c$$-2$

現在は $1.5x^2 - 2 = 0$、$D=12$ です。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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