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二次方程式 — 平方完成と解の公式

二次方程式は、$x^2$ を含む式を $0$ にする $x$ を探す問題です。 因数分解で解けるものもありますが、いつもきれいに因数分解できるとは限りません。 そこで使うのが平方完成です。式を $(x+p)^2+q$ の形に直すと、頂点の位置と解の個数が同時に見えるようになります。

まずは $x^2+bx+c=0$ を動かし、平方完成した形とグラフを同時に見ます。 頂点の高さが $0$ より下なら $x$軸と $2$点で交わり、ちょうど $0$ なら接し、上なら交わりません。 この境目を数で表したものが判別式 $D$ です。

$x^2 - 2x - 3 = 0$$x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$$D=16$

係数 $b$$-2$定数項 $c$$-3$

$D=16>0$ なので $x$軸と $2$点で交わります。解は $x=-1, 3$ です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$x^2+6x+5=0$ を平方完成して解くと、解の組はどれですか?

$x=-5, -1$$x=1, 5$$x=-3, 3$実数の解はありません

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 2 / 3

$x^2-4x+7=0$ の判別式 $D$ の符号と、実数解の個数はどれですか?

$D=0$、実数解は $1$個$D>0$、実数解は $2$個$D<0$、実数解はありません$D>0$、実数解はありません

ヒントを見る答えと解説を見る

確認 3 / 3

$2x^2-5x+2=0$ を解の公式で解くと、解の組はどれですか?

$x=2, \frac{1}{2}$実数の解はありません$x=-2, -\frac{1}{2}$$x=\frac{5}{2}, 1$

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操作チャレンジ

平方完成で「接する」形を作ります。 図の目標に合わせて係数を動かし、判別式が境目の値になることを確かめてください。

係数 $b$$0$定数項 $c$$2$

現在は $x^2 + 0x + 2 = 0$、$D=-8$ です。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院 数学専攻 博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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