展開と因数分解 — 面積を組み直して因数分解

因数分解は、展開の逆向きの作業です。 ばらばらに見える面積をすき間なく長方形に組み直し、そのたてと横の長さを読むと、かけ算の形が戻ってきます。

たとえば $a^2 + 2ab + b^2$ は、$a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$ の4枚の面積です。 これを一辺 $a+b$ の正方形に戻せるので、$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ と因数分解できます。

触ってみる — 面積を外枠に戻す

「因数分解」側にして「組み直す」を動かしてください。 展開では外枠から部品へ進みましたが、因数分解では部品から外枠へ戻ります。

展開: $(a+b)^2 \to a^2+2ab+b^2$因数分解: $a^2+2ab+b^2 \to (a+b)^2$

$a = 3$, $b = 2$

$(a+b)^2 = (3+2)^2 = 25$

$a^2 + 2ab + b^2 = 9 + 12 + 4 = 25$

a の長さ3b の長さ2組み直す0%

因数分解で探しているのは、同じ面積を作る長方形のたてと横です。 $a^2 + 2ab + b^2$ の4枚は、たて $a+b$、横 $a+b$ に並ぶので、かけ算の形は $(a+b)(a+b)$、つまり $(a+b)^2$ になります。

試してみよう

• $a=3$、$b=2$ で組み直すと、面積の和は $9 + 12 + 4 = 25$、外枠は一辺 $5$ の正方形です
• $x^2 + 10x + 25$ は、$x^2$、$5x$、$5x$、$25$ と見れば $(x+5)^2$ です
• $x^2 + 7x + 12$ は、$3x$ と $4x$ に分けると、たて $x+3$、横 $x+4$ の長方形にできます

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$x^2 + 10x + 25$ を因数分解した式はどれですか?

$(x+5)^2$$(x+10)^2$$x(x+10)+25$$(x+2)(x+5)$

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確認 2 / 3

$x^2 + 12x + 36$ を $(x+c)^2$ と因数分解するとき、$c$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$x^2 + 7x + 12$ を長方形の面積として組み直すと、どの因数分解になりますか?

$(x+7)^2$$(x+3)(x+4)$$(x+12)(x+1)$$(x+6)(x+2)$

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章末チャレンジ

下の4枚の面積をすき間なく組み直し、外枠の一辺を読んでください。 面積の和から、かけ算の形へ戻すことが目標です。

組み直す0%

面積の和は $3^2 + 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25$ です。