展開と因数分解 — 面積で展開する

展開とは、かけ算でまとまっている式を、たし算の形に開いて読むことです。 たとえば $(a+b)^2$ は「一辺が $a+b$ の正方形の面積」と見ると、何をしているのかがはっきりします。

正方形の一辺を $a$ と $b$ に分けると、中には $a^2$、$ab$、$ab$、$b^2$ の4つの面積ができます。 だから全体の面積は $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ です。

触ってみる — 正方形を面積に分ける

スライダーで $a$ と $b$ の長さを変えながら、一辺 $a+b$ の正方形を分けてください。 「分割する」を動かすと、外枠の面積 $(a+b)^2$ が、4つの小さな面積に分かれて見えます。

展開: $(a+b)^2 \to a^2+2ab+b^2$因数分解: $a^2+2ab+b^2 \to (a+b)^2$

$a = 3$, $b = 2$

$(a+b)^2 = (3+2)^2 = 25$

$a^2 + 2ab + b^2 = 9 + 12 + 4 = 25$

a の長さ3b の長さ2分割する100%

展開では、外枠から中の部品へ視点を移します。 式だけで覚えると $2ab$ が抜けやすいですが、図で見ると $ab$ の長方形が2枚あるため、真ん中の項が $2ab$ になると分かります。

試してみよう

• $a=3$、$b=2$ にすると、外枠は一辺 $5$ の正方形です。面積は $25$ になります
• 同じ図を分けて読むと、$3^2 + 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25$ です
• $b$ を大きくすると、右上の $b^2$ と2枚の $ab$ が同時に大きくなります

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$(x+4)^2$ を展開した式はどれですか?

$x^2 + 16$$x^2 + 8x + 16$$2x + 8$$x^2 + 4x + 16$

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確認 2 / 3

$a=3$, $b=2$ のとき、$(a+b)^2$ の面積はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

$(2x+3)^2$ を展開した式はどれですか?

$4x^2 + 12x + 9$$4x^2 + 9$$2x^2 + 12x + 9$$4x^2 + 6x + 9$

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章末チャレンジ

下の図で $a=4$、$b=3$ に合わせて、外枠から分けた面積の和を読み取ってください。 計算だけでなく、4つの面積がどこにあるかも確認します。

a の長さ2b の長さ1

いま $(a+b)^2 = (2+1)^2 = 9$ です。