平方根の計算 — 有理化と大小

平方根は、形を変えても同じ長さを表すことがあります。たとえば $\sqrt{12}$ は、 $12=4\times3$ と見れば

\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}

と書けます。根号の中に平方数があるとき、その平方数の平方根を外へ出せます。

有理化と大小を同じ数直線で見る

分母に平方根がある式は、分母と分子に同じ平方根をかけて形を変えます。これを有理化といいます。たとえば

\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

です。分母と分子に同じ数をかけているので、値は変わりません。

\sqrt{5} \approx 2.236

\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447

根号の中5

2^2 < 5 < 3^2

なので

2 < \sqrt{5} < 3

。また、分母と分子に同じ

\sqrt{5}

をかけると

\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

になり、長さは変わりません。

大小比較では、平方数ではさむのが基本です。 $2^2=4$ 、 $3^2=9$ なので、 $4<5<9$ から $2<\sqrt{5}<3$ とわかります。係数がついた平方根どうしを比べるときは、どちらも $0$ 以上なら $2$ 乗して比べられます。

$\sqrt{48}$ なら、 $48=16\times3$ です。したがって

\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}

です。一方、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ は

\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

と有理化できます。どちらも「値を変えずに、扱いやすい形へ直す」操作です。

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\sqrt{48}$ を簡単にするとどれですか?

確認 2 / 3

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ を有理化するとどれですか?

確認 3 / 3

$3\sqrt{2}$ と $2\sqrt{5}$ では、どちらが大きいですか?

$\sqrt{45}$ を、根号の中に平方数が残らない形へ直してください。数直線上で同じ位置に重なれば、値を変えずに形を整えられています。

目標

\sqrt{45}

現在

2\sqrt{3} \approx 3.464

係数2根号の中3

目標:

\sqrt{45}

と同じ位置に

a\sqrt{b}

の点を重ねる。

45 = 9 \times 5

なので、根号の外へ出せる数を探します。

執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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