平方根の計算 — 有理化と大小

平方根は、形を変えても同じ長さを表すことがあります。たとえば $\sqrt{12}$ は、$12=4\times3$ と見れば

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$$

と書けます。根号の中に平方数があるとき、その平方数の平方根を外へ出せます。

有理化と大小を同じ数直線で見る

分母に平方根がある式は、分母と分子に同じ平方根をかけて形を変えます。これを有理化といいます。たとえば

$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

です。分母と分子に同じ数をかけているので、値は変わりません。

$\sqrt{5} \approx 2.236$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447$

根号の中5

大小比較では、平方数ではさむのが基本です。$2^2=4$、$3^2=9$ なので、$4<5<9$ から $2<\sqrt{5}<3$ とわかります。係数がついた平方根どうしを比べるときは、どちらも $0$以上なら $2$乗して比べられます。

計算の形を整える

$\sqrt{48}$ なら、$48=16\times3$ です。したがって

$$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$$

です。一方、$\frac{1}{\sqrt{3}}$ は

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

と有理化できます。どちらも「値を変えずに、扱いやすい形へ直す」操作です。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

$\sqrt{48}$ を簡単にするとどれですか?

$16\sqrt{3}$$3\sqrt{4}$$2\sqrt{12}$$4\sqrt{3}$

ヒントを見る

確認 2 / 3

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ を有理化するとどれですか?

$\frac{1}{5}$$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$$\frac{5}{\sqrt{5}}$

ヒントを見る

確認 3 / 3

$3\sqrt{2}$ と $2\sqrt{5}$ では、どちらが大きいですか?

等しい$2\sqrt{5}$$3\sqrt{2}$比較できない

ヒントを見る

章末チャレンジ

$\sqrt{45}$ を、根号の中に平方数が残らない形へ直してください。数直線上で同じ位置に重なれば、値を変えずに形を整えられています。

目標 $\sqrt{45}$現在 $2\sqrt{3} \approx 3.464$

係数2根号の中3