平方根 — 正方形の一辺として読む

面積が $9$ の正方形なら、一辺は $3$ です。 これは $3^2=9$ だからです。 同じように、面積が $2$ の正方形にも一辺の長さがあります。 その長さを $\sqrt{2}$ と書きます。

$\sqrt{A}$ は「$2$乗すると $A$ になる、$0$以上の数」です。 記号を先に覚えるより、正方形の一辺として読むほうが自然です。

面積を動かす

下の図では、正方形の面積を変えられます。 面積が平方数なら一辺は整数になり、平方数でないときは小数で近づけて読みます。

面積 $A = 9$一辺 $\sqrt{9} = 3$

面積9

面積が $16$ なら一辺は $4$ です。 面積が $17$ なら、一辺は $4$ より少し大きくなります。 $4^2=16$、$5^2=25$ なので、$\sqrt{17}$ は $4$ と $5$ の間にあります。

数直線に置く

平方根は長さなので、数直線上にも置けます。 たとえば $\sqrt{2}$ は、横 $1$、縦 $1$ の直角三角形の斜辺として作れます。 その斜辺をコンパスのように数直線へ移すと、$\sqrt{2}$ の位置が決まります。

作図中: $\sqrt{2} \approx 1.414$直角三角形: $(\sqrt{1})^2 + 1^2 = 2$

作図する数2

$\sqrt{3}$ も同じ考え方で置けます。 底辺を $\sqrt{2}$、高さを $1$ にすると、斜辺の長さは $\sqrt{3}$ です。 平方根は「だいたいの小数」ではなく、作図できる正確な長さとして扱えます。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

面積が $25$ の正方形の一辺は何ですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

$\sqrt{7}$ の位置として正しいものはどれですか?

$2$ と $3$ の間$7$ と $8$ の間$6$ と $7$ の間$3$ と $4$ の間

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確認 3 / 3

$\sqrt{2}$ を小数第$3$位までで答えるといくつですか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

章末チャレンジ

面積を調整して、指定された一辺の正方形を作ってください。 平方根は「面積から一辺を読む」ための記号だと確認できます。

面積12